الموضعيةمُسَمًّى تدوين، حيث يتم تحديد وزن رقم الرقم من خلال موضعه في تدوين الرقم.

دعونا نتذكر العشري المعتاد نظام الأرقام، حيث قمنا بإجراء جميع الحسابات منذ الطفولة. بالفعل في المدرسة الابتدائيةلقد اعتدنا على مصطلحات "الآحاد" و"العشرات" و"المئات" و"الآلاف" و"الأعشار" و"المئات" و"الأجزاء من الألف" ولا نفكر في أنها تعني وزن رقم معبرًا عنه عدد يساوي ، حيث هو عدد صحيح. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 125، 46 كمجموع:

مئات، عشرات، وحدات، أعشار، مئات

وبالمثل، يمكن تمثيل أي رقم في نظام الأرقام العشري كمجموع مماثل:

(11.1)

حيث هو عدد الأحرف في الجزء الصحيح من الرقم، هو عدد الأحرف في الجزء الكسري من الرقم، هو وزن الرقم th، هو معامل الترجيح للرقم th من الرقم. عدد المتغيرات المحتملة لقيمة المعامل في نظام الأرقام العشرية يساوي، حيث يتم استخدام عشرة أحرف لكتابة الأرقام - الأرقام العربية "0"، "1"، "2"، "3"، "4"، " "5" و"6" و"7" و"8" و"9". الرقم هو أساس نظام الأرقام. تاريخيًا، أصبح النظام العشري هو الأكثر انتشارًا، على الرغم من أنه يمكن استخدام هذا المبدأ لإجراء إدخال مماثل في أي نظام أرقام آخر مع أي أساس آخر. في الجدول 11.1 يوضح التشابه بين أنظمة الأرقام الموضعية.

الجذرهو رقم يساوي عدد الأحرف المستخدمة في هذا النظام لكتابة الأرقام.

بالنسبة لرقم في نظام أرقام ذو أساس، يتحول التعبير (11.1) إلى النموذج:

(11.2)

الجدول 11.1.

معلمات أنظمة الأرقام الموضعية	الجذر	اسم نظام الأرقام
العلامات المستخدمة لكتابة الأرقام	2	0, 1
ثنائي	3	0, 1, 2
الثالوث	4	0, 1, 2, 3
…	…	…
رباعي	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
…	…	…
ثماني	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
…	…	…
عشري	16	سداسي عشري
…	…	…

مع بداية تطور تكنولوجيا الحوسبة الرقمية، بدأ النظام الثنائي يثير اهتمامًا كبيرًا، حيث أن الكمبيوتر من أي جيل وأي درجة من التعقيد هو عبارة عن مجموعة من الدوائر المنطقية. يعتمد تشغيل عناصر هذه الدوائر على وضع التشغيل الرئيسي للترانزستور، والذي يمكن أن يكون فيه فقط في حالتين، تعتبر منطقية 0 ومنطقية 1.

عادةً ما تكون كتابة رقم ثنائي، كما هو موضح أدناه، طويلة جدًا ومرهقة، لذلك لكتابة أقصر للأرقام الثنائية، يتم استخدام الأرقام الثمانية والست عشرية. يرجع اختيار هذه الأنظمة المعينة إلى حقيقة أن قواعدها تساوي قوة صحيحة قدرها 2. قاعدة النظام الثماني هي، وقاعدة النظام السداسي العشري هي. لا توجد أرقام عربية كافية لكتابة الأرقام السداسية العشرية، لذلك يتم استخدام الأحرف الستة الأولى من الأبجدية اللاتينية.

دعونا نعطي أمثلة لكتابة الأرقام في الأنظمة المشار إليها وإيجاد معادلاتها العشرية باستخدام الصيغة (11.2).

للرقم الثماني:

بالنسبة للرقم السداسي العشري:

يشير التقريب إلى الجزء الكسري من الرقم؛ ويتم ترجمة الجزء الصحيح بالضبط. من ميزات التحويل من الكود السداسي العشري إلى الكود العشري أن المعادل العشري للعلامة السداسية العشرية يستخدم كمعامل وفقًا للجدول 11.2. على سبيل المثال، بدلاً من العلامة " "، يتم استبدال رقم عشري في صيغة الحساب (11.2).

من الأمثلة التي تم النظر فيها، يتضح أنه يمكن استخدام الصيغة العامة (11.2) لتحويل رقم من نظام أرقام بأي أساس إلى رقم عشري.

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

التحويل من النظام العشري إلى أي نظام آخر. تحويل عدد صحيح

يجب تقسيم العدد العشري بالكامل على أساس نظام الأرقام الجديد. ما تبقى من هذا التقسيم هو الرقم الأقل أهمية في دخول جديدأرقام. يتم تقسيم نتيجة القسمة مرة أخرى على القاعدة. سيكون الجزء المتبقي من هذا القسمة هو الرقم التالي في التدوين الجديد للرقم، ويتم تقسيم نتيجة القسمة مرة أخرى على القاعدة، وما إلى ذلك. حتى ينتج عن القسمة رقم أصغر في القيمة من أساس النظام الجديد. سيكون الجزء المتبقي من هذا القسمة الأخيرة هو الرقم الثاني قبل الأخير في تدوين الرقم الجديد، وستكون نتيجة هذا القسمة الأخيرة هي الرقم الأكثر أهمية في تدوين الرقم الجديد.

يتم التحقق من الترجمة باستخدام الصيغة (11.2)، كما هو موضح أدناه في الأمثلة.

مثال. تحويل الرقم العشري 125 إلى أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والست عشرية. التحقق من النتائج باستخدام الصيغة (A11.2).

أ)	ب)	الخامس)

فحص:

في المثال قيد النظر، عند التحويل، بدلاً من المعامل، يتم استخدام المعادل العشري الخاص به وفقًا للجدول 11.2.

التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الست عشري (الثماني)

كما ذكرنا أعلاه، يتم استخدام الرموز السداسية العشرية والثمانية لكتابة الأرقام الثنائية بشكل أكثر إحكاما وسهولة. وبالتالي، يتم تنفيذ البرمجة في رموز الآلة في معظم الحالات بالرمز السداسي العشري. قواعد الترجمة للنظامين السداسي العشري والثماني هي نفسها من الناحية الهيكلية؛ ويتم عرض الاختلافات في النظام الثماني بين قوسين.

يتم تقسيم التدوين الثنائي للرقم إلى مجموعات من أربعة ( ثلاثة) علامة ثنائية على يسار ويمين الفاصلة التي تفصل بين الأجزاء الصحيحة والكسرية، يتم ملء المجموعات المتطرفة غير المكتملة (إن وجدت) بأصفار تصل إلى أربعة (. ثلاثة) علامات. يتم استبدال كل مجموعة برقم سداسي عشري واحد ( ثماني) قم بالتسجيل وفقًا لرمز المجموعة (الجدول 11.2).

الجدول 11.2.

مطابقة المجموعات الثنائية والأحرف السداسية العشرية والثمانية	المجموعة الثنائية	العلامة السداسية العشرية	مطابقة المجموعات الثنائية والأحرف السداسية العشرية والثمانية	المعادل العشري
0000	0	0	000	0
0001	1	1	001	1
0010	2	2	010	2
0011	3	3	011	3
0100	4	4	100	4
0101	5	5	101	5
0110	6	6	110	6
0111	7	7	111	7
1000	8	8
1001	9	9
1010	علامة ثماني	10
1011	أ	11
1100	ب	12
1101	ج	13
1110	د	14
1111	ه	15

ف

لتسجيل معلومات حول عدد الكائنات في العالم المادي، يتم استخدام الأرقام، والتي يتم تقسيمها وفقا لمعايير معينة. في الشكل. 2.1 يعرض تصنيف الأرقام حسب خصائص المجموعة، حيث تتضمن كل مجموعة أرقاما لها خصائص معينة.

أرز. 2.1. تصنيف الأرقام

تتم كتابة الأرقام باستخدام أنظمة الإشارة الخاصة، والتي تسمى أنظمة الأرقام؛ حيث تتم كتابة الأرقام وفقًا لقواعد معينة باستخدام رموز أبجدية معينة تسمى الأرقام.

تنقسم جميع أنظمة الأرقام إلى نوعين: موضعي وغير موضعي. في أنظمة الأرقام الموضعية، تعتمد قيمة الرقم على موضعه في الرقم، وفي أنظمة الأرقام غير الموضعية لا تعتمد على ذلك. أكثر الأنظمة غير الموضعية شيوعًا هو النظام الروماني. يتم استخدام الرموز التالية كأرقام في النظام الروماني: I (1)، V (5)، X (10)، L (50)، C (100)، D (500)، M (1000). لا يعتمد معنى الرقم في هذا النظام على موضعه في الرقم. يتم تعريف حجم الرقم في النظام الروماني على أنه مجموع وفرق الأرقام في الرقم. إذا كان الرقم الأصغر على يسار الرقم الأكبر، فإنه يطرح، وإذا كان على اليمين يضاف.

على سبيل المثال، الرقم 1997 (التدوين الموضعي العشري) في نظام الأرقام الرومانية سيبدو كما يلي: MCMXCVII = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + 5 + 1 + 1. لأتمتة عملية تحويل هذا الرقم من العشري إلى سوف نستخدم نظام الأرقام الرومانية باستخدام معالج الجدول مايكروسوفت اكسل.

أرز. 2.3. مربع حوار الوسائط الوظيفية

ونتيجة لهذه الإجراءات، نحصل في الخلية A1 على القيمة المطلوبة للرقم 1997 في نظام الأرقام الرومانية (الشكل 2.4).

أرز. 2.4. ورقة مرض التصلب العصبي المتعدد اكسل"نتيجة التحول"

تُستخدم أنظمة الأرقام الموضعية على نطاق واسع عند إدخال المعلومات ومعالجتها وإخراجها في أجهزة الكمبيوتر وأنظمة الكمبيوتر، وأكثرها شيوعًا هي الأنظمة العشرية والثنائية والثمانية والست عشرية. في أنظمة الأعداد الموضعية، تعتمد القيمة الكمية للرقم على موضعه في الرقم. قاعدة النظام تساوي عدد الأرقام (الحروف الأبجدية الخاصة به) وتحدد عدد مرات اختلاف قيم أرقام الأرقام المجاورة للرقم. بشكل عام، في نظام الأرقام الموضعية، يمكن تمثيل أي رقم يحتوي على عدد صحيح وأجزاء كسرية في شكل موسع على النحو التالي:

أو في شكل متكرر:

أين ك- الرقم الممثل؛ ح –الجذر؛ أ -عامل البت, أ = 0, 1, 2, 3…, ح-1، أي الأرقام التي تنتمي إلى الأبجدية لنظام أرقام معين؛ أنا- رقم الرقم، والموضع؛ ص –عدد الأرقام الصحيحة؛ ت -عدد الأرقام الكسرية لعدد.

في نظام الأعداد العشرية يمكن كتابة الصيغة (2.2) على النحو التالي:

أين أ = 0, 1, 2, 3…, 9.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم 827 في نظام الأرقام العشري وفقًا للتعبير (2.3) على النحو التالي: 827 = 8 · 10 2 + 2 · 10 1 + 7 · 10 0.

يستخدم نظام الأرقام العشرية في أجهزة الكمبيوتر لإدخال البيانات الرقمية وعرض النتيجة. يقوم الكمبيوتر بجميع العمليات الداخلية الوسيطة في نظام الأرقام الثنائية وستأخذ العلاقة (2.2) الشكل التالي:

حيث أ = 0، 1.

على سبيل المثال الرقم 1100111011 2 النظام الثنائييمكن تمثيل الحسابات وفقًا للصيغة (2.4) على النحو التالي: 1 2 9 + 1 2 8 + 0 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 0 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0 .

تُستخدم أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية على نطاق واسع في معالجة معلومات الكمبيوتر، والتي تُستخدم، على سبيل المثال، للإشارة إلى عناوين مواقع البيانات في ذاكرة الكمبيوتر، وما إلى ذلك.

العلاقة (2.2) لنظامي الأعداد الثماني والست عشري، على التوالي، سوف تأخذ الشكل (2.5) و (2.6):

حيث أ = 0، 1، 2، 3...، 7.

على سبيل المثال، الرقم 1473 8 من نظام الأرقام الثماني وفقًا لـ (2.5) سيأخذ الشكل: 1 8 3 + 4 8 2 + 7 8 1 + 3 8 0.

أين أ = 0، 1، 2، 3...، 9، أ، ب، ج، د، ه، و.

يستخدم نظام الأرقام السداسي العشري ستة عشر رقما، عشرة أرقام منها باللغة العربية (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9)، والأرقام المتبقية (10، 11، 12، 13، 14) ، 15 ) تم تحديدها بأحرف الأبجدية اللاتينية (A = 10، B = 11، C = 12، D = 13، E = 14، F = 15).

على سبيل المثال، الرقم 33ب16 من نظام الأرقام السداسي العشري، طبقاً لـ (2.6)، سيأخذ الشكل: 3 16 2 + 3 16 1 + في · 16 0 (ب = 11).

عند إجراء عمليات على أرقام ممثلة في أنظمة أرقام مختلفة، من الضروري الإشارة إلى نظام الأرقام الخاص بالرقم باستخدام فهرس أقل، على سبيل المثال: 827 10 – الرقم 827 في النظام العشري؛ 1100111011 2 – الرقم 1100111011 في النظام الثنائي؛ 1473 8 - الرقم 1473 في النظام الثماني؛ 33ب 16 – رقم 33 فولتفي نظام الأرقام الست عشري.

يعد تحويل الأرقام الممثلة في أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والست عشرية إلى نظام عشري أمرًا بسيطًا للغاية. للقيام بذلك، تحتاج إلى كتابة الرقم في شكل موسع وفقا للتعبير (2.1) وحساب قيمته. على سبيل المثال:

يعد تحويل الأرقام العشرية إلى أرقام ثنائية وثمانية وسداسية عشرية إجراء أكثر تعقيدًا يمكن القيام به بطرق مختلفة: القسمة، الضرب، الطرح، وما إلى ذلك. ويجب أن يؤخذ في الاعتبار أن طرق تحويل الأعداد العشرية الصحيحة والكسور الصحيحة ستختلف. لتحويل رقم عشري صحيح، على سبيل المثال 53 10، إلى النظام الثنائي، يمكنك استخدام طريقة القسمة، والكسر العشري الصحيح، على سبيل المثال 0.75 10، إلى النظام الثنائي، استخدم طريقة الضرب. سيتم عرض نتائج الإجراءات في الجداول المقابلة. 2.1 و 2.2.

الجدول 2.1

وبالتالي، 53 10 = 110101 2.

الجدول 2.2

وبالتالي، 0.75 10 = 0.11 2.

يتم تنفيذ تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر بكل بساطة باستخدام برامج الكمبيوتر الحاسبة و مايكروسوفت اكسل.ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذه البرامج تترجم الأعداد الصحيحة فقط.

دعونا تحويل الرقم أف 16استخدام الآلة الحاسبة الحاسوبية في أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية. لنقم بتشغيل برنامج الحاسبة باستخدام الأمر: [Button يبدأ– البرامج – القياسية – الحاسبة]. بعد تشغيل البرامج قم بتنفيذ الأمر: [عرض – هندسة]. تحتوي الآلة الحاسبة على أربعة أزرار اختيارية موجودة في الجزء العلوي الأيسر أسفل مؤشر إخراج نتيجة الحساب. عندما يتم تنشيط الزر عرافةيتم تحويل الرقم المعروض في حقل الإدخال ونتيجة حسابات الآلة الحاسبة إلى نظام أرقام سداسي عشري، ديسمبر- إلى العلامة العشرية، أكتوبر- إلى الثماني، بن- في نظام الأرقام الثنائية. تفعيل الزر عرافةوأدخل الرقم أف 16.تبديل الأزرار بالتسلسل بن, أكتوبرو ديسمبر، نحصل على النتائج التالية: AF 16 = 10101111 2 = 257 8 = 175 10. في الشكل. 2.5 يظهر نتيجة تحويل الأرقام أف 16على الرقم 2578.

أرز. 2.5. برنامج الآلة الحاسبة

تسلسل الإجراءات عند تحويل رقم سداسي عشري أف 16لأنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية باستخدام البرنامج مايكروسوفت اكسليشبه تحويل الرقم 1997 إلى نظام الأرقام الرومانية، ولكن هنا من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه بدلاً من الوظيفة "Roman" من الضروري استخدام الوظائف "HEX.V.DV"، "HEX.V". ثمانية"، "HEX.V.DES" من فئة "الهندسة" (انظر الشكل 2.2).

2.2. العمليات الحسابية على الأعداد الممثلة في أنظمة الأعداد المختلفة

يتم تنفيذ العمليات الحسابية في جميع أنظمة الأرقام الموضعية وفقًا لنفس القواعد. لتنفيذ العمليات الحسابيةعلى الأرقام المقدمة في أنظمة أعداد مختلفة، من الضروري أولاً تحويلها إلى نظام رقم واحد ومراعاة أن التحويل إلى الرقم التالي أثناء عملية الجمع والاقتراض من الرقم الأعلى أثناء عملية الطرح يتم تحديده بواسطة قيمة أساس نظام الأرقام.

تعتمد العمليات الحسابية في نظام الأرقام الثنائية على جداول لجمع وطرح وضرب الأعداد الثنائية المكونة من رقم واحد.

عند إضافة وحدتين، يفيض الرقم ويتم نقل الوحدة إلى أعلى رقم؛ عند طرح 0-1، يتم إجراء قرض من أعلى رقم في جدول "الطرح"، ويتم تحديد هذا القرض بـ 1 مع وجود خط فوق رقم.

فيما يلي أمثلة على إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الممثلة في أنظمة الأعداد المختلفة:

يتم تنفيذ العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة الممثلة في أنظمة الأعداد المختلفة بكل بساطة باستخدام الآلة الحاسبة و مايكروسوفت اكسل.

2.3. تمثيل الأرقام في الكمبيوتر

تتم معالجة البيانات الرقمية في جهاز الكمبيوتر باستخدام نظام الأرقام الثنائية. يتم تخزين الأرقام في ذاكرة الكمبيوتر في شكل رمز ثنائي، أي على شكل سلسلة من الأصفار والواحدات، ويمكن تمثيلها بتنسيق النقطة الثابتة أو العائمة.

يتم تخزين الأعداد الصحيحة في الذاكرة بتنسيق نقطة ثابتة. مع هذا التنسيق لتمثيل الأرقام للتخزين الأعداد الصحيحة غير السالبةيتم تخصيص سجل ذاكرة يتكون من ثماني خلايا ذاكرة (8 بت). كل رقم في خلية الذاكرة يتوافق دائمًا مع نفس الرقم من الرقم، وتقع الفاصلة على اليمين بعد الرقم الأقل أهمية وخارجه شبكة بت. على سبيل المثال، سيتم تخزين الرقم 11001101 2 في سجل الذاكرة على النحو التالي:

يمكن تحديد القيمة القصوى لعدد صحيح غير سالب يمكن تخزينه في سجل بتنسيق نقطة ثابتة من الصيغة: 2 ن – 1، حيث ص –عدد أرقام الرقم. الحد الأقصى للعدد سيكون 2 8 – 1 = 255 10 = 11111111 2 والحد الأدنى 0 10 = 00000000 2. وبالتالي، فإن نطاق التغييرات في الأعداد الصحيحة غير السالبة سيكون من 0 إلى 255 10.

على عكس النظام العشري، فإن نظام الأرقام الثنائية في تمثيل الكمبيوتر للرقم الثنائي لا يحتوي على رموز تشير إلى إشارة الرقم: موجب (+) أو سالب (-)، لذا للتمثيل الأعداد الصحيحة الموقعةيستخدم النظام الثنائي تنسيقين لتمثيل الأرقام: تنسيق الأرقام الموقعة والتنسيق المكمل لشخصين. في الحالة الأولى، يتم تخصيص اثنين من سجلات الذاكرة (16 بت) لتخزين الأعداد الصحيحة الموقعة، ويتم استخدام الرقم الأكثر أهمية (أقصى اليسار) كإشارة للرقم: إذا كان الرقم موجبًا، فسيتم كتابة 0 إلى بت الإشارة ، إذا كان الرقم سالبًا، فهو 1. على سبيل المثال، سيتم عرض الرقم 536 10 = 0000001000011000 2 في سجلات الذاكرة بالشكل التالي:

والرقم السالب -536 10 = 1000001000011000 2 بالصيغة:

الحد الأقصى للرقم الموجب أو الحد الأدنى للرقم السالب في تنسيق قيمة الرقم الموقع (مع مراعاة تمثيل رقم واحد لكل علامة) هو 2ن-1– 1 = 2 16- 1 – 1 = 2 15 – 1 = 32767 10 = 111111111111111 2 وسيكون نطاق الأرقام من -32767 10 إلى 32767.

في أغلب الأحيان، لتمثيل الأعداد الصحيحة الموقعة في النظام الثنائي، يتم استخدام تنسيق الكود المكمل للاثنين، والذي يسمح لك باستبدال عملية الطرح الحسابية في الكمبيوتر بعملية إضافة، مما يبسط بشكل كبير بنية المعالج الدقيق ويزيد من أدائه .

لتمثيل الأعداد الصحيحة السالبة بهذا التنسيق، يتم استخدام الكود المكمل للواحد، وهو معامل مكمل الرقم السالب إلى الصفر. يتم تحويل عدد صحيح سالب إلى مكمل اثنين باستخدام العمليات التالية:

1) اكتب معامل الرقم بالكود المباشر ن (ن = 16) البتات الثنائية؛

2) الحصول على رمز العودةالأرقام (عكس جميع أرقام الرقم، أي استبدال جميع الآحاد بالأصفار، والأصفار بالآحاد)؛

3) أضف واحدًا إلى الرقم الأقل أهمية للرمز العكسي الناتج.

على سبيل المثال، بالنسبة للرقم -536 10 بهذا التنسيق، ستكون الوحدة تساوي 0000001000011000 2، وسيكون الرمز العكسي 1111110111100111، وسيكون الرمز الإضافي 1111110111101000. فلنتحقق من القيمة الناتجة للكود الإضافي باستخدام الآلة الحاسبة. للقيام بذلك، أدخل قيمة المعامل للرقم -536 10، أي الرقم 536 10، وباستخدام الزر الاختياري بننقوم بتحويل هذا الرقم المقدم في نظام الأرقام العشرية إلى النظام الثنائي، بعد تثبيت زر الخيار مسبقًا 2 بايت.بالضغط على الزر لابالآلة الحاسبة، نحصل على الكود العكسي للرقم، وبإضافة وحدة ثنائية إلى الكود العكسي، نحصل على كود إضافي. سيتم الحصول على النتيجة النهائية في مجال نافذة برنامج الحاسبة (الشكل 2.6). يمكنك القيام بذلك بشكل أسهل: عن طريق كتابة الرقم -536 10 على الآلة الحاسبة وتفعيل الزر بن، احصل على الكود الإضافي لهذا الرقم في نظام الأرقام الثنائية.

أرز. 2.6. نتيجة تلقي رمز إضافي

من المهم أن تتذكر أن الكود الإضافي رقم إيجابي- الرقم نفسه.

لتخزين الأعداد الصحيحة الموقعة، بالإضافة إلى تمثيل الكمبيوتر 16 بت باستخدام اثنين من سجلات الذاكرة (وتسمى أيضًا تنسيق الأعداد الصحيحة ذات التوقيع القصير)، يتم استخدام تنسيقات الأعداد الصحيحة المتوسطة والطويلة ذات الموقع لتخزين الأعداد الصحيحة الموقعة. لتمثيل الأرقام بتنسيق الأرقام المتوسطة، يتم استخدام أربعة سجلات (4 × 8 = 32 بت)، ولتمثيل الأرقام بتنسيق الأرقام الطويلة، يتم استخدام ثمانية سجلات (8 × 8 = 64 بت). ستكون نطاقات القيم لتنسيقات الأرقام المتوسطة والطويلة على التوالي: -(2 31 – 1) ... + 2 31 – 1 و -(2 63 -1) ... + 2 63 – 1.

تمثيل الكمبيوتر للأرقام بتنسيق نقطة ثابتة له مزاياه وعيوبه. تشمل المزايا بساطة تمثيل الأرقام والخوارزميات لتنفيذ العمليات الحسابية؛ أما العيوب فهي النطاق المحدود لتمثيل الأرقام، والذي قد لا يكون كافيًا لحل العديد من المشكلات العملية (الرياضية والاقتصادية والفيزيائية وما إلى ذلك).

تتم معالجة الأعداد الحقيقية (الكسور العشرية المحدودة وغير المحدودة) وتخزينها في جهاز كمبيوتر بتنسيق الفاصلة العائمة. باستخدام تنسيق تمثيل الأرقام هذا، قد يتغير موضع العلامة العشرية في الإدخال. أي عدد حقيقي كيمكن تمثيل تنسيق النقطة العائمة على النحو التالي:

أين أ -العشري من الرقم. ح –الجذر؛ ص -ترتيب الأرقام.

التعبير (2.7) لنظام الأرقام العشرية سوف يأخذ الشكل:

للثنائي -

للثماني -

للست عشري -

ويسمى هذا الشكل من تمثيل الرقم أيضًا عاديًا. مع تغيير الترتيب، تتغير الفاصلة في الرقم، أي أنها تبدو وكأنها تطفو إلى اليسار أو إلى اليمين. لهذا السبب الشكل الطبيعيتسمى تمثيلات الأرقام بنموذج النقطة العائمة. على سبيل المثال، يمكن تمثيل الرقم العشري 15.5 بتنسيق النقطة العائمة على النحو التالي: 0.155 · 10 2 ؛ 1.55 · 10 1 ; 15.5 · 10 0 ; 155.0 · 10 -1 ; 1550.0 · 10 -2، إلخ. لا يُستخدم هذا الشكل من الفاصلة العائمة العشرية رقم 15.5 عند كتابة برامج الكمبيوتر وإدخالها في الكمبيوتر (أجهزة إدخال الكمبيوتر تقبل تسجيل البيانات الخطية فقط). وبناء على ذلك يتم تحويل التعبير (2.7) الخاص بتمثيل الأعداد العشرية وإدخالها إلى الحاسب إلى الصورة

أين ص –ترتيب الأرقام,

أي بدلاً من أساس نظام الأرقام 10، يكتبون الحرف ه،فبدلاً من الفاصلة توجد نقطة، ولا يتم وضع علامة الضرب. وبالتالي، سيتم كتابة الرقم 15.5 بالفاصلة العائمة والتنسيق الخطي (تمثيل حاسوبي) على النحو التالي: 0.155E2؛ 1.55E1؛ 15.5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2، إلخ.

بغض النظر عن نظام الأرقام، يمكن تمثيل أي رقم في شكل الفاصلة العائمة بعدد لا حصر له من الأرقام. يسمى هذا النوع من التسجيل غير الطبيعي. للحصول على تمثيل لا لبس فيه لأرقام الفاصلة العائمة، يتم استخدام شكل موحد لكتابة الرقم، حيث يجب أن تستوفي الأجزاء العشرية للرقم الشرط

أين |أ| -القيمة المطلقة للجزء العشري من الرقم.

الشرط (2.9) يعني أن الجزء العشري يجب أن يكون كسرًا صحيحًا ويحتوي على رقم غير الصفر بعد العلامة العشرية، أو بمعنى آخر، إذا لم يكن الجزء العشري يحتوي على صفر بعد العلامة العشرية، فسيتم تسمية الرقم عاديًا . لذا، فإن الرقم 15.5 في الصورة المقيسة (الأجزاء العشرية المقيسة) في شكل النقطة العائمة سيبدو كما يلي: 0.155 10 2، أي أن الجزء العشري المقيس سيكون علامة ثماني= 0.155 والنظام ر= 2، أو في التمثيل الحاسوبي للرقم 0.155E2.

أرقام الفاصلة العائمة لها تنسيق ثابت وتشغل أربعة (32 بت) أو ثمانية بايت (64 بت) من ذاكرة الكمبيوتر. إذا كان الرقم يشغل 32 بت في ذاكرة الكمبيوتر، فهو رقم دقة عادي؛ وإذا كان 64 بت، فهو رقم دقة مزدوج. عند كتابة رقم الفاصلة العائمة، يتم تخصيص البتات لتخزين علامة الجزء العشري، وعلامة الأس، والجزء العشري، والأس. يحدد عدد الأرقام المخصصة لترتيب الرقم نطاق تباين الأرقام، ويحدد عدد الأرقام المخصصة لتخزين الجزء العشري الدقة التي يتم بها تحديد الرقم.

عند إجراء العمليات الحسابية (الجمع والطرح) على الأرقام المقدمة بتنسيق النقطة العائمة، يتم تنفيذ الإجراء التالي (الخوارزمية):

1) محاذاة ترتيب الأرقام التي يتم تنفيذ العمليات الحسابية عليها (يزيد ترتيب الرقم الأصغر في القيمة المطلقة إلى ترتيب الرقم الأكبر في القيمة المطلقة، ويتناقص الجزء العشري بنفس عدد المرات)؛

2) يتم إجراء العمليات الحسابية على الأجزاء العشرية من الأرقام؛

3) تم تطبيع النتيجة التي تم الحصول عليها.

ولنوضح ما سبق بالأمثلة.

مثال 1

دعونا نضيف رقمين 0.5 · 10 2 و 0.8 · 10 3 بتنسيق النقطة العائمة.

حل.

دعونا نقوم بمحاذاة الطلبات ونضيف الأجزاء العشرية 0.05 · 10 3 + 0.8 · 10 3 = 0.85 · 10 3 . يتم تطبيع الجزء العشري الناتج البالغ 0.85، لأنه يفي بالشرط (2.9).

مثال 2

دعونا نضيف رقمين 0.1 · 2 2 و 0.1 · 2 3 بتنسيق النقطة العائمة.

حل.

دعونا نقوم بمحاذاة الطلبات ونضيف الأجزاء العشرية: 0.01 · 2 3 + 0.1 · 2 3 = 0.11 · 2 3 . يتم تطبيع الجزء العشري الناتج 0.11، لأنه يفي بالشرط (2.9).

تمارين يمكنك القيام بها بنفسك

1. تحويل الأرقام المكتوبة في نظام الأرقام الروماني إلى أرقام في نظام الأرقام العشري:

أ) XL؛ ب) CXXXX؛ ج) CDXXVIII؛ د) CMLXXVI؛ ه) MCMLII؛ و) MMV.

2. استخدام البرنامج مايكروسوفت إكسل,تنفيذ التحويل التلقائي للأرقام من نظام الأرقام العشرية إلى نظام الأرقام الرومانية.

3. قم بإنشاء وملء كافة خلايا الجدول التالي باستخدام معالج جداول البيانات مايكروسوفت اكسل.

4. باستخدام الصيغ (2.1) - (2.6) اكتب الأرقام في شكل موسع:

أ) ك 10 = 12355؛ ب) ك 8 = 321476؛ ج) ك 2 = 101110011؛

د) ك 16 = 143D5؛ ه) ك 10 = 769.314؛ ز) ك 8 = 0.1734؛

ح) ك 2 = 100101.011؛ ط) ك 16 = ZA1.5C1.

5. املأ كافة صفوف الجدول التالي.

6. هل الأرقام مكتوبة بشكل صحيح في أنظمة الأرقام المقابلة:

أ) ك 2 = 100200؛ ب) ك 16 = CD1؛ ج) ك 10 = F.345؛ د) ك 8 = -122453 ؟

7. أي من الأرقام 3D7 16 و10010111 2 و375 8 و13424 5 هو الأكبر والأصغر؟

8. تحويل الأرقام 234 10، 1000 10، 30.75 10، 9.8 10 إلى أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والست عشرية.

9. تحويل الأرقام 10001 2، 1010.01 2، 111111 2، 1001110.011 2 إلى أنظمة الأرقام العشرية والثمانية والست عشرية.

10. تحويل الأرقام 27 16، D،1B 16، 41 16، 25E،8 16 إلى أنظمة الأعداد الثنائية والثمانية والعشرية.

11. تحويل الأرقام 237 8، 1050 8، 33.75 8، 0.756 8 إلى أنظمة الأرقام الثنائية والعشرية والست عشرية.

12. ما هو الرقم الذي يلي ويسبق كل رقم من الأرقام أدناه:

أ) 121 3؛ ب) 9 أ 16؛ ج) 1001101 2؛ د) 735 8 ه) 234 10 ؛ و) 135 6؛ ز) 258 9 ؟

13. إجراء العمليات الحسابية:

أ) 46 8 + 135 8؛ د) 212 8 - 165 8؛ ز) 12 8 · 137 8 ;

ب) 1010111 2 + 101 2 ؛ ه) 1011001 2 - 10111 2؛ ح) 1101 2 101 2؛

ج) 1AE 16 + 32B 16؛ ه) 10ج 16 - د 16؛ ط) 3D 16 · 1A 16 .

14. قم بإنشاء وملء جدول في MS Excel، وكتابة الأرقام العشرية في تمثيل الكمبيوتر المحدد:

15. قم بإنشاء وملء جدول في MS Excel، وكتابة الأرقام العشرية بالرموز الأمامية والخلفية والإضافية في تمثيل كمبيوتر 16 بت:

16. تمثيل الأرقام المعطاة بالفاصلة العائمة والشكل الطبيعي:

أ) 234.678 10؛ ب) 1024 10 ؛ ج) 35769 10؛ د) 0.126 10؛

ه) 111 2؛ و) 47 8؛ ز) 1DC 16 .

17. قم بجمع وطرح وضرب الأعداد التالية بتنسيق النقطة العائمة:

أ) 0.537 10 2 و 0.25 10 1؛ ب) 0.1 · 2 1 و 0.1 · 2 -2.

في عملية معالجة المعلومات، تعمل أجهزة الكمبيوتر الرقمية بأرقام ممثلة في نظام أرقام معين.

التدوينهي مجموعة من التقنيات والقواعد لكتابة الأرقام بالرموز الرقمية. غالبًا ما يُطلق على تسجيل رقم في نظام أرقام معين اسم رمز الرقم.

عناصر(رموز) الأبجدية المستخدمة لكتابة الأرقام في نظام أرقام معين تسمى عادةً أرقامًا. يرتبط كل رقم من رقم معين بشكل فريد بمكافئه الكمي (العددي).

الأبجديةهي مجموعة (عادة ما تكون محدودة) من الرموز أو الحروف، على سبيل المثال الحروف والأرقام اللاتينية. مثال على الأبجدية المشتركة هو الأبجدية الثنائية (0،1). السلسلة الأخيرة هي التسلسل النهائي لأحرف الأبجدية. على سبيل المثال، السلسلة الثنائية هي سلسلة من الأحرف الأبجدية (0،1). ومن الممكن أيضًا إنشاء تسلسلات لا نهائية من الحروف الأبجدية.

نظام الأرقام الموضعية (الترقيم الموضعي) هو نظام أرقام تعتمد فيه قيمة كل علامة رقمية (رقم) في سجل الأرقام على موضعها (رقم). نظام الأرقام الموضعية الأكثر شهرة هو نظام الأرقام العشرية. على سبيل المثال، في العدد العشري 555، الرقم الأول على اليمين يعني 5 آحاد، والرقم الذي يليه يعني 5 عشرات، والرقم الأيسر يعني 5 مئات.

تحويل الأعداد الصحيحة

للترجمة، تحتاج إلى قسمة الرقم الأصلي على أساس نظام الأرقام الجديد للحصول على عدد صحيح متبقي، وهو الرقم ذو الترتيب المنخفض للرقم في نظام الأرقام الجديد (الوحدات). نقسم الناتج الناتج مرة أخرى على أساس النظام وهكذا حتى يصبح الناتج أقل من أساس نظام الأرقام الجديد. يتم تنفيذ جميع العمليات في نظام الأرقام الأصلي.

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، تحويل رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام الأرقام الثنائية.

لنأخذ الرقم العشري A10 = 124 ونقسمه على أساس النظام الثنائي، أي الرقم 2. وسنقسمه بزاوية:

نتيجة القسمة الأولى نحصل على رقم الآحاد (الرقم الأدنى). ونتيجة القسمة الثانية نحصل على رقم اثنين. ونستمر في القسمة طالما أن نتيجة القسمة أكبر من اثنين. وفي نهاية عملية التحويل حصلنا على الرقم الثنائي 11111002.

الآن دعونا نحول نفس الرقم إلى نظام الأرقام الثماني. للقيام بذلك، قم بتقسيم الرقم 12410 على الرقم 8:

كما نرى فإن باقي القسمة الأولى هو 4. أي أن الرقم الأدنى من العدد الثماني يحتوي على الرقم 4. وباقي القسمة الثانية هو 7. أي أن الرقم الثاني من العدد الثماني هو الرقم 7. الرقم الأكثر أهمية هو 1. وهذا هو، نتيجة للتكرار حصلنا على الانقسامات الرقم الثماني 1748.

دعونا نتحقق مما إذا كنا قد ارتكبنا خطأ في عملية التحويل؟ للقيام بذلك، نقوم بتحويل الرقم الثنائي الناتج إلى النظام العشري باستخدام صيغة التوسيع المعتادة:

1×82+7×81+4×80=6410+5610+410=124

هل من الممكن التحويل من نظام الأرقام الثماني إلى تقسيم ثنائي؟ يستطيع! لكن القسمة يجب أن تتم وفقًا لقواعد الحساب الثماني. سننظر في قواعد العمل في نظام الأرقام الثماني في الفصل التالي. ومع ذلك، من أجل الاكتمال، دعونا نفكر في مثال للترجمة إلى شكل ثنائيالرقم الثماني الذي تم الحصول عليه مسبقًا 1748. اقسمه على أساس نظام الأرقام الجديد 2.

كما رأينا، فإن إجراء القسمة في النظام الثماني أمر غير مريح للغاية، لأننا نقسم لا شعوريًا في نظام الأعداد العشرية. دعونا نلاحظ أن الرقم 8 هو قوة للرقم 2. وهذا يعني أنه يمكننا التفكير في نظام الأرقام الثماني باعتباره مجرد شكل أقصر من الأرقام الثنائية. وهذا يعني أنه يمكن استخدام ثلاث بتات ثنائية لتمثيل رقم ثماني (8=23). دعونا نجعل جدول المراسلات. وهو مبين في الجدول 1.

الجدول 1. جدول المراسلات بين الأرقام الثمانية والرمز الثنائي

الرمز الثنائي	رقم ثماني	العلامة السداسية العشرية

باستخدام هذا الجدول، يمكنك ببساطة استبدال كل رقم ثماني بثلاث بتات ثنائية. عادة ما تسمى البتات الثنائية الثلاث بالثالوث أو التريبوت. لنقم الآن بتحويل الرقم الثماني 1748 إلى الشكل الثنائي باستخدام الجدول 7:

وبالمثل، يمكنك تحويل رقم من ثنائي إلى ثماني. للقيام بذلك، يتم تقسيم الرقم الثنائي إلى ثلاثيات نسبة إلى الرقم الموجود في أقصى اليمين (أو الفاصلة الثنائية)، وباستخدام الجدول 7، يتم تعيين رقم ثماني لكل ثلاثية.

وبطريقة مماثلة، يمكنك تحويل رقم من النظام الست عشري إلى النظام الثنائي والعكس. في هذه الحالة، يلزم وجود أربعة أرقام ثنائية لتمثيل الرقم السداسي العشري. عادةً ما تسمى أربعة أرقام ثنائية بالرباعي. في بعض الأحيان عند ترجمة الكتب الأجنبية يتم استخدام مصطلح nibl.

لنقم بعمل جدول للمراسلات بين الرباعيات الثنائية والأرقام السداسية العشرية. للقيام بذلك، سنقوم ببساطة بإضافة واحد إلى قيمة الصف السابق في كل عمود من الجدول، وفقًا لنظام الأرقام المستخدم في ذلك العمود. وتظهر النتيجة في الجدول 2.

كمثال على استخدام الجدول 2، دعونا نحول الرقم السداسي العشري 7C16 إلى شكل ثنائي:

الجدول 2. جدول المراسلات بين الأرقام السداسية العشرية والرمز الثنائي

الرمز الثنائي	رقم ثماني	العلامة السداسية العشرية
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111

يظهر في الشكل 1 مثال لتحويل رقم ثنائي إلى شكل ثماني وسداسي عشري.

الشكل 1. مثال على تحويل رقم ثنائي إلى رقم ثماني وسداسي عشري.

في هذا الشكل أدناه، يتم تسليط الضوء على الرباعيات الثنائية والأرقام السداسية العشرية المقابلة لها. يمكن التحقق من مراسلاتها باستخدام الجدول 2. يتم تمييز الثلاثيات والأرقام الثمانية المقابلة لها في الأعلى. تبين أن الثالوث الكبير غير مكتمل. ويجب استكماله بأصفار بادئة غير مهمة حتى تتمكن من استخدام الجدول 1.

السؤال الخامس (تمثيل المعلومات في الأجهزة الرقمية. مفهوم الترميز. الأبجدية. أنظمة الموقفالحساب. تحويل الأعداد الصحيحة غير السالبة من نظام أرقام إلى آخر.)

الجمهور المستهدف هي دائرة متسلسلة وتستخدم لمعالجة المعلومات المنفصلة.

في عملية معالجة المعلومات، تعمل أجهزة الكمبيوتر الرقمية بأرقام ممثلة في نظام أرقام معين.

التدوين هي مجموعة من التقنيات والقواعد لكتابة الأرقام بالعلامات الرقمية. غالبًا ما تسمى كتابة رقم في نظام أرقام معين برمز الرقم.

نظام الأرقام غير الموضعية هو نظام له معنى الرمز، أي. الأرقام، لا تعتمد على موقعها في العدد. وتشمل هذه الأنظمة، على وجه الخصوص، النظام الروماني (وإن كان مع بعض التحفظات). هنا، على سبيل المثال، الرمز V تعني دائمًا خمسة، بغض النظر عن مكان ظهورها في تدوين الأرقام. هناك أنظمة أخرى غير موضعية حديثة.

نظام الأرقام الموضعية هو نظام يعتمد فيه معنى كل رقم على معادله العددي وعلى مكانه (موضعه) في العدد، أي. نفس الرمز (الرقم) يمكن أن يأخذ معاني مختلفة.

في معظم الحالات، تكون الشروط التي تمت مناقشتها أعلاه، والتي يمكن تمثيلها بالمستويات الرقمية، بسيطة وواضحة. السؤال الأكثر تعقيدًا وإثارة للاهتمام هو كيفية تمثيل جزء من رقم باستخدام المستويات الرقمية.

الرقم العشري (الأساس 10) عبارة عن سلسلة من الأرقام ومن المفترض أن يتم ضربها بقوى متتالية للرقم 10 لتكوين منتجات فردية ثم يتم إضافتها معًا. على سبيل المثال، . يتطلب الرقم كتابة عشرة أحرف (من 0 إلى 9)، ويتم تحديد قوة الرقم 10 التي يجب ضرب الرقم بها من خلال موضعه بالنسبة إلى العلامة العشرية. إذا أردنا تمثيل رقم باستخدام رمزين فقط (0 و1)، فسيتم تسمية نظام الأرقام هذا بالثنائي أو الأساس 2. في هذه الحالة، سيتم ضرب كل 1 أو 0 بقوى متتالية للرقم 2. على سبيل المثال،

يُطلق على "الآحاد" و"الأصفار" الفردية في التدوين الذي يمثل رقمًا ثنائيًا اسم "البتات" (من الكلمات ثنائي - رقم ثنائي). يشير الفهرس (المكتوب دائمًا بالأساس 10) إلى نظام الأرقام المستخدم. غالبًا ما يكون من الضروري تجنب الارتباك، نظرًا لأن جميع الشخصيات تبدو متشابهة.

باستخدام الطريقة الموصوفة للتو، قمنا بتحويل رقم من ثنائي إلى عشري. لإجراء التحويل العكسي، يجب تقسيم الرقم العشري بالتسلسل على 2، مع كتابة الباقي في كل مرة. لتحويل الرقم 1310 إلى ثنائي، عليك إجراء العمليات التالية: ، الباقي 1؛ , الباقي , الباقي 1 ; ، الباقي 1؛ يعطي.

لاحظ أن الإجابة تتكون بدءًا من البت الأقل أهمية (LSB).

التمثيل الست عشري للأرقام.

لوصف الأنظمة التي تحتوي على حالتين فقط، فمن الطبيعي استخدام الأرقام الثنائية. ومع ذلك، كما سيظهر أدناه، فهذه ليست الطريقة الوحيدة. نظرًا لأن الأرقام الثنائية كبيرة، فهي مكتوبة بتنسيق سداسي عشري (الأساس 16). لكتابة رقم ثنائي بالرمز السداسي العشري، يتم تقسيمه إلى مجموعات مكونة من 4 بتات، يمكن لكل منها أن تأخذ قيمًا من O إلى 15. وبما أننا نريد استخدام حرف واحد للإشارة إلى كل موضع سداسي عشري، فسنشير إلى القيم 10-15 بأحرف الأبجدية اللاتينية من A إلى F:

يتوافق التمثيل السداسي العشري بشكل أفضل مع بنية البايت (1 بايت = 8 بتات) للكمبيوتر، والتي يتم تنفيذها غالبًا في شكل "كلمات" الآلة ذات 16 أو 32 بت، حيث تتكون كل كلمة من 2 أو 4 بايت. يتم تمثيل الأحرف الأبجدية الرقمية (الأحرف أو الأرقام أو الرموز) كبايت واحد. وبالتالي، فإن كل بايت في النظام السداسي العشري يتكون من رقمين سداسي عشري، وكلمة آلية مكونة من بتات مكونة من أرقام سداسية عشرية، وما إلى ذلك.

على سبيل المثال، في كود ASCII المستخدم على نطاق واسع (انظر القسم 10.19)، يكون الترميز الصغير هو 01100001 (61 بالنظام السداسي العشري، والذي يُكتب كـ )، is، وما إلى ذلك. وبالتالي، يمكن تخزين الكلمة في كلمات ثنائية البت، والتي لها قيم . كمثال آخر، يمكن تحديد تخطيط الذاكرة في جهاز كمبيوتر مزود بذاكرة بايت) من خلال عنوان -بايت، نظرًا لأن العنوان الأدنى هو FFFFH، والنصف الثاني من الذاكرة يبدأ من ، والربع الرابع من الذاكرة يبدأ في . قد تصادف أحيانًا تدوينًا "ثمانيًا" (قاعدة 8)، ولسوء الحظ، اعتمدت أجهزة الكمبيوتر المبكرة كلمات مكونة من 12 بت والتي تستخدم تمثيل الأحرف الأبجدية الرقمية بـ 12 بت. نظرًا لأنه كان من المنطقي تمثيل العلامات المكونة من أرقام في الكود الثماني، فقد تم تقديم نظام الأرقام هذا. وقد نجا حتى يومنا هذا، ويتم استخدامه بنجاح لكتابة الأرقام الثنائية، لكنه يمكن أن يخلق في كثير من الأحيان بعض الإزعاجات.

التمرين 8.1. اكتب تمثيل ASCII الثماني للأحرف باستخدام القيمة السداسية العشرية المذكورة سابقًا. ثم اكتب التمثيل الثماني للكلمة المكونة من بايتين معًا. لماذا هم مختلفون؟ تحديد التمثيل الثماني للكلمة ذات البتات التي تحتوي على المجموعة في كود ASCII.

الرمز العشري الثنائي.

هناك طريقة أخرى لتمثيل الأرقام وهي تشفير كل رقم عشري بشكل ثنائي، مكتوبًا كمجموعة مكونة من 4 أرقام ثنائية. على سبيل المثال، (الرمز العشري الثنائي). لاحظ أن تمثيل BCD لرقم ما لا يعادل التمثيل الثنائي، والذي سيكون له في هذه الحالة الشكل: يمكننا أن نفترض أن بتات كود BCD، بدءًا من اليمين، تعبر عن الأرقام 1، 2، 4، 8، 10، 20، 40، 80، 100، 200، 400، 800، الخ. من الواضح أن تشفير BCD ليس ثنائي الكفاءة، حيث أن كل مجموعة مكونة من 4 بتات قادرة على تمثيل الأرقام من 0 إلى 15، ولكنها تستخدم لتمثيل رقم لا يتجاوز 9 (إلا في الحالة النادرة لتسجيل المعلومات الرقمية مع تكافؤ متساوي على -تتبع الشريط المغناطيسي). يعد تشفير BCD مناسبًا جدًا في الحالات التي تحتاج فيها إلى إعادة إنتاج رقم في شكل عشري، لأنه في هذه الحالة يحتاج كل حرف BCD فقط إلى التحويل إلى الرقم العشري المقابل، ثم عرضه. (هناك دوائر متكاملة خاصة لأداء هذه الوظيفة؛ في حزمة واحدة صغيرة ذات طوبولوجيا بسيطة، تحتوي على وحدة فك تشفير كود BCD، ومكيفات الإشارة، وسجل المخزن المؤقت، ومؤشر.

ما عليك سوى تطبيق المستويات المنطقية للرمز العشري الثنائي على مدخلات هذه الدائرة، وبعد ذلك يتم عرض الرقم المقابل عليها). لهذا السبب، يتم استخدام تشفير BCD بشكل شائع عند إدخال وإخراج المعلومات الرقمية. لسوء الحظ، يعد التحويل بين BCD والثنائي النقي أمرًا صعبًا، نظرًا لأن كل رقم عشري يعتمد على حالة جميع الأرقام الثنائية تقريبًا والعكس صحيح. ومع ذلك، فإن الحساب الثنائي فعال للغاية لدرجة أن معظم أجهزة الكمبيوتر تقوم بتحويل جميع المعلومات المدخلة إلى شكل ثنائي، ولا يتم إجراء التحويل العكسي إلا عند إخراجها. تخيل مقدار الجهد الذي سيتم توفيره إذا كان لدى الإنسان العاقل 8 أو 16 إصبعًا!

تمرين 8.2. قم بتحويل الأرقام التالية إلى رمز عشري: أ) 1110101.01102، ب) 11.010101012، ج) . قم بتحويل الأرقام التالية إلى رمز ثنائي: أ) 102310، ب) 102316. قم بتحويل الأرقام التالية إلى رمز سداسي عشري: أ) 1011101011012، ج) 6145310.

الأرقام الموقعة

الرمز المباشر (حجم الإشارة). عاجلاً أم آجلاً ستكون هناك حاجة لتمثيل الأرقام السالبة في النظام الثنائي؛ سيكون هذا مطلوبًا بشكل أساسي في الأجهزة التي تقوم بعمليات حسابية. أبسط شيء هو تعيين رقم واحد (على سبيل المثال، الرقم الأكثر أهمية) لإشارة الرقم، واستخدام الباقي لتمثيل قيمته. تسمى هذه الطريقة بالرمز المباشر أو الحجم الموقع وتتوافق مع التدوين المعتاد للرقم الموقع (الجدول 8.1). يتم استخدامه عند عرض الأرقام، وكذلك في بعض المحولات التناظرية إلى الرقمية (ADCs). بشكل عام، هذا ليس أفضل شكل لتمثيل الأرقام الموقعة، خاصة عند إجراء العمليات الحسابية، لأنه في هذه الحالة يتم تنفيذ عمليات الطرح والجمع بشكل مختلف (أي، الجمع "لا يعمل" للأرقام الموقعة). بالإضافة إلى ذلك، قد يكون هناك نوعان من الأصفار و-0)، لذا يجب أن تكون حذرًا للغاية عند اختيار الأصفار الصحيحة.

الجدول 8.1. أرقام ثنائية 4 بت في ثلاثة أنظمة تمثيل

رمز مختلط.

الكود المختلط هو الطريقة الثانية لتمثيل الرقم الموقع. للحصول على الرمز المتغير لرقم ما، عليك استخدام هذا الرقم الموضح في الكود المباشر، أضف نصف أكبر عدد ممكن (الجدول 8.1). تسلسل جميع الأرقام بفضل هذه العملية، بدءًا من الأكبر، يكون سلبيًا. سيتم وضع الأرقام وتنتهي بالأكبر. يمثل الرقم تقدمًا ثنائيًا بسيطًا ويمكن تشكيله باستخدام العدادات الثنائية. تحمل المعلومات حول العلامة هنا أيضًا الجزء الأكثر أهمية، لكن الصفر يصبح لا لبس فيه. يتم استخدام الكود المتحول في ADCs وDACs (المحولات)، لكنه ليس مناسبًا بعد لإجراء العمليات الحسابية.

رمز إضافي.

عند إجراء العمليات على الأعداد الصحيحة، غالبًا ما يتم تمثيل الأرقام في شكل تكملة اثنين، أو بمعنى آخر، في شكل تكملة اثنين. في مثل هذا النظام، تتم كتابة الأرقام الموجبة ببساطة كأرقام ثنائية غير موقعة، ويتم التعبير عن الأرقام السالبة كرقم، عند إضافته إلى رقم موجب من نفس القيمة، سينتج عنه صفر. للحصول على رقم سالب، تحتاج إلى تكوين مكمل 1، أو رمز معكوس، لكل بت من رقم موجب (أي كتابة 1 لكل 0 والعكس صحيح)، ثم إضافة 1 إلى النتيجة (وهذا سوف إعطاء الكود التكميلي).

من الطاولة 8.1 من الواضح أن الأرقام الموجودة في الشفرة التكميلية تختلف عن الأرقام الموجودة في الشفرة المزاح بالقيمة العكسية للبتة الأكثر أهمية (MSB). كما هو الحال مع أشكال التمثيل الأخرى، تحمل SZR معلومات حول العلامة. يوجد صفر واحد فقط، والذي يتم تمثيله بشكل ملائم من خلال الحالات الصفرية لجميع البتات (عندما يتم مسح العداد أو السجل، يتم إدخال قيمة صفر فيها).

الحساب في الكود التكميلي.

العمليات الحسابية في الكود المكمل لشخصين بسيطة للغاية. للحصول على مجموع رقمين، يكفي إضافة الأرقام المقابلة (بما في ذلك المرحل)، على سبيل المثال

لطرح B من A، عليك أن تأخذ مكمل الرقم B وإضافته إلى الرقم A (أي إضافة رقم سالب):

يتم أيضًا إجراء الضرب في الكود المكمل لشخصين مباشرةً. جرب التمارين التالية.

التمرين 8.3. باستخدام الكود المكمل لـ -bit، قم بإجراء عملية ضرب ثنائية بـ - 3. تلميح: الإجابة هي -6.

التمرين 8.4. أظهر أن مكمل -5 هو .

نظرا لطبيعية حساباتها، يتم استخدام الكود التكميلي على نطاق واسع في أجهزة الكمبيوتر لإجراء العمليات الحسابية على الأعداد الصحيحة (ولكن تجدر الإشارة إلى أن أرقام الفاصلة العائمة تستخدم عادة في شكل حجم الإشارة، تسمى علامة الأس العشري).

كود رمادي.

يتم استخدام الكود الذي تمت مناقشته أدناه في أجهزة تشفير زاوية العمود الميكانيكي، وكذلك في الأجهزة الأخرى. يطلق عليه الرمز الرمادي وله خاصية أنه أثناء الانتقال من أي حالة من حالاته إلى الحالة التالية، يتغير رقم واحد فقط (بت)، مما يساعد على منع الأخطاء، لأنه في هذه الحالة، عند الانتقال بين قيمتين مشفرتين، جميع الأرقام لا يمكن أن تتغير في نفس الوقت. إذا تم استخدام رمز ثنائي بحت، فعند الانتقال، على سبيل المثال، من 7 إلى 8، يمكن الحصول على الرقم 15 عند الإدخال لتشكيل حالات الكود الرمادي، هناك قاعدة بسيطة: عليك أن تبدأ من حالة الصفر، ومن ثم للحصول على كل حالة تالية، عليك اختيار البت الأكثر أهمية والأقل أهمية، والذي يؤدي تغييره إلى تكوين حالة جديدة، وأخذ قيمته العكسية.

يمكن أن تحتوي الرموز الرمادية على أي عدد من الأرقام. يتم استخدامها في "التشفير المتوازي" - وهي طريقة عالية السرعة للتحويل التناظري إلى الرقمي (تتم مناقشته أدناه). في القسم التالي سوف نعرض المراسلات المتبادلة بين الكود الرمادي والرمز الثنائي.

في كثير من الأحيان، عند دراسة الكمبيوتر والتكنولوجيا الرقمية، يتم الخلط بين مفاهيم الرموز الثنائية. في نظام الأرقام الثنائية، يتم استخدام الأرقام الثنائية "0" و"1" لكتابة الأرقام، ويتم استخدام علامات الأرقام "+" و"-"، وتستخدم الفاصلة الثنائية "،" للفصل بين الجزء الصحيح من رقم من الجزء الكسري. بالإضافة إلى ذلك، يعتمد طول الأرقام الثنائية على معناها. إذا كان الرقم صغيرًا، فلا يجوز كتابة أي شيء على يمين الأرقام المهمة (يتم تجاهل الأصفار غير المهمة). عند كتابة أرقام كبيرة جدًا وصغيرة جدًا يمكن استخدام الرمز “2”، على سبيل المثال: +1.001101×2 −1011101 بمعنى آخر، لكتابة رقم ثنائي يتم استخدام عدد كبير من الرموز التي تختلف عن “0” و"1".

هذا غير مسموح به في ذاكرة المعالج الدقيق أو الكمبيوتر. يمكننا فقط كتابة الحرفين "0" و"1". لا يمكننا حذف أرقام غير مهمة، ولا يمكننا استخدام الصلاحيات، ولا يمكننا اختيار طول رقم ثنائي عشوائي. لتسجيل الأرقام الثنائية في أجهزة الكمبيوتر والمعالجات الدقيقة، خاصة الرموز الثنائية. علاوة على ذلك، حتى لو كان لديهم نفس البنية، فقد يختلفون في عدد البتات الصالحة.

في المعالجات الدقيقة، يتم استخدام الرموز الثنائية لتمثيل أي معلومات تتم معالجتها. وفي هذه الحالة قد يتجاوز عمق البت للأرقام المعالجة عرض البت للمعالج نفسه والذاكرة المستخدمة فيه. في هذه الحالة، يمكن أن يشغل الرقم الطويل عدة خلايا ذاكرة وتتم معالجته بواسطة عدة أوامر للمعالج. أثناء المعالجة، يتم التعامل مع كافة خلايا الذاكرة المخصصة لرقم متعدد البايت كرقم واحد.

لتمثيل المعلومات العددية، ويمكن استخدامها. يمكن تمثيل الأرقام في ذاكرة المعالج في , وهناك تمييز واضح بين تمثيل الأرقام في وفي .

في كثير من الأحيان، تحتاج المعالجات الدقيقة إلى عرض وتخزين المعلومات الرقمية في شكل عشري. لهذا الغرض يتم استخدامها. للعمل مع الرموز العشرية الثنائية، غالبًا ما يتم تضمين أوامر خاصة في أوامر المعالجات الدقيقة.

بالإضافة إلى تمثيل المعلومات الرقمية في المعالجات الدقيقة، غالبًا ما يكون من الضروري أن تكون قادرًا على الكتابة. ويمكن تخزينها على وسائط تخزين في شكل ملفات، أو عرضها على أجهزة الإخراج (شاشات العرض والمؤشرات) أو تضمينها في نص برنامج العمل.

في بعض الحالات، تتم كتابة المفاهيم البعيدة عن نظام الأرقام الثنائية باستخدام الأصفار والواحدات. ومن الأمثلة على ذلك رموز مقاومة الضوضاء. وعلى الرغم من حقيقة أنها تستخدم لنقل المعلومات، فإن الرموز المقاومة للضوضاء نفسها تعتمد على تقسيم متعدد الحدود ونظرية مجال الأعداد.

الأدب:

جنبا إلى جنب مع المقال "أنواع الرموز الثنائية" اقرأ:

تمثيل الأرقام الثنائية في ذاكرة الكمبيوتر أو المتحكم الدقيق
http://site/proc/IntCod.php

في بعض الأحيان يكون من المناسب تخزين الأرقام في ذاكرة المعالج في شكل عشري
http://site/proc/DecCod.php

تنسيقات أرقام الفاصلة العائمة القياسية لأجهزة الكمبيوتر ووحدات التحكم الدقيقة
http://site/proc/float/

تمثيل النصوص في ذاكرة أجهزة الكمبيوتر والمتحكمات الدقيقة
http://site/proc/text/

حاليًا، يتم استخدام أنظمة الأرقام الموضعية وغير الموضعية على نطاق واسع في التكنولوجيا وفي الحياة اليومية.
.php