انطلاقا من شعبية الاستعلام "نظرية فيرما - برهان قصير"هذه المشكلة الرياضية تهم الكثير من الناس حقًا. تم ذكر هذه النظرية لأول مرة من قبل بيير دي فيرما في عام 1637 على حافة نسخة من كتاب الحساب، حيث ادعى أن لديه حلًا أكبر من أن يتناسب مع الحافة.

تم نشر أول برهان ناجح في عام 1995، وهو برهان كامل لنظرية فيرما بواسطة أندرو ويلز. وقد وُصف بأنه "تقدم مذهل" وأدى إلى حصول ويلز على جائزة أبيل في عام 2016. على الرغم من وصفها بإيجاز نسبيًا، إلا أن إثبات نظرية فيرما أثبت أيضًا الكثير من نظرية النمطية وفتح طرقًا جديدة للعديد من المشكلات الأخرى طرق فعالةصعود نمطية. أدت هذه الإنجازات إلى تقدم الرياضيات بمقدار 100 عام. إن إثبات نظرية فيرما الصغيرة ليس شيئًا خارجًا عن المألوف اليوم.

حفزت المشكلة التي لم يتم حلها تطور نظرية الأعداد الجبرية في القرن التاسع عشر والبحث عن دليل على النظرية النمطية في القرن العشرين. إنها واحدة من أبرز النظريات في تاريخ الرياضيات، وقبل الإثبات الكامل لنظرية فيرما الأخيرة بالقسمة، دخلت موسوعة غينيس للأرقام القياسية باعتبارها "أصعب مشكلة رياضية"، ومن سماتها ما يلي: أنه يحتوي على أكبر عدد من البراهين الفاشلة.

مرجع تاريخي

تحتوي معادلة فيثاغورس x 2 + y 2 = z 2 على عدد لا نهائي من حلول الأعداد الصحيحة الموجبة لـ x وy وz. تُعرف هذه الحلول بالثالوث الفيثاغوري. حوالي عام 1637، كتب فيرما على هامش كتاب أن المعادلة الأكثر عمومية a n + b n = c n ليس لها حلول في الأعداد الطبيعية إذا كان n عددًا صحيحًا أكبر من 2. وعلى الرغم من أن فيرما نفسه ادعى أن لديه حل لمشكلته، إلا أنه فعل ذلك لا تترك أي تفاصيل حول دليلها. إن الدليل الأولي لنظرية فيرما، الذي ذكره منشئها، كان بالأحرى اختراعه المتبجح. تم اكتشاف كتاب عالم الرياضيات الفرنسي الكبير بعد 30 عاما من وفاته. هذه المعادلة، والتي تسمى نظرية فيرما الأخيرة، ظلت دون حل في الرياضيات لمدة ثلاثة قرون ونصف.

أصبحت النظرية في نهاية المطاف واحدة من أبرز المسائل التي لم يتم حلها في الرياضيات. أثارت محاولات إثبات ذلك تطورات كبيرة في نظرية الأعداد، وبمرور الوقت أصبحت نظرية فيرما الأخيرة معروفة بأنها مشكلة لم يتم حلها في الرياضيات.

تاريخ موجز للأدلة

إذا كان n = 4، كما أثبت فيرما نفسه، فإنه يكفي لإثبات نظرية المؤشرات n، وهي أعداد أولية. على مدار القرنين التاليين (1637-1839) تم إثبات التخمين فقط بالنسبة للأعداد الأولية 3 و5 و7، على الرغم من أن صوفي جيرمان قامت بتحديث وأثبتت منهجًا ينطبق على فئة الأعداد الأولية بأكملها. في منتصف القرن التاسع عشر، توسع إرنست كومر في هذا الأمر وأثبت نظرية جميع الأعداد الأولية المنتظمة، مما أدى إلى تحليل الأعداد الأولية غير المنتظمة بشكل فردي. بناءً على عمل كومر واستخدام أبحاث حاسوبية متطورة، تمكن علماء رياضيات آخرون من توسيع الحل ليشمل النظرية، بهدف تغطية جميع الأسس الرئيسية حتى أربعة ملايين، لكن الدليل على جميع الأسس كان لا يزال غير متاح (مما يعني أن علماء الرياضيات بشكل عام نظروا في الحل إلى النظرية المستحيلة أو الصعبة للغاية أو التي لا يمكن تحقيقها بالمعرفة الحالية).

عمل شيمورا وتانياما

في عام 1955، اشتبه عالما الرياضيات اليابانيان غورو شيمورا ويوتاكا تانياما في وجود علاقة بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية، وهما مجالان مختلفان تمامًا في الرياضيات. كانت تُعرف في ذلك الوقت باسم حدسية تانياما-شيمورا-ويل، و(في النهاية) باسم النظرية النمطية، وقد وقفت بمفردها، دون أي صلة واضحة بنظرية فيرما الأخيرة. كان يُنظر إليها على نطاق واسع على أنها نظرية رياضية مهمة في حد ذاتها، ولكن كان من المستحيل إثباتها (مثل نظرية فيرما). وفي الوقت نفسه، تم إثبات نظرية فيرما العظيمة (بطريقة القسمة واستخدام الصيغ الرياضية المعقدة) بعد نصف قرن فقط.

في عام 1984، لاحظ جيرهارد فراي وجود علاقة واضحة بين هاتين المشكلتين اللتين لم يتم حلهما سابقًا ولم يكن لهما علاقة ببعضهما البعض. تم نشر الدليل الكامل على أن النظريتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا في عام 1986 من قبل كين ريبيت، الذي بنى على دليل جزئي بواسطة جان بيير سيريس، الذي أثبت كل شيء باستثناء جزء واحد، المعروف باسم "حدسية إبسيلون". ببساطة، أظهرت هذه الأعمال التي قام بها فراي وسيريس وريب أنه إذا كان من الممكن إثبات نظرية النمطية لفئة شبه مستقرة من المنحنيات الإهليلجية على الأقل، فسيتم أيضًا اكتشاف إثبات نظرية فيرما الأخيرة عاجلاً أم آجلاً. أي حل يمكن أن يتعارض مع نظرية فيرما الأخيرة يمكن استخدامه أيضًا لمعارضة نظرية الوحدة. لذلك، إذا تبين أن نظرية النمطية صحيحة، فإنه بحكم التعريف لا يمكن أن يكون هناك حل يتعارض مع نظرية فيرما الأخيرة، مما يعني أنه كان ينبغي إثباتها قريبًا.

على الرغم من أن كلتا النظريتين كانتا مسألتين صعبتين في الرياضيات، وتعتبران غير قابلة للحل، إلا أن عمل اليابانيين كان أول اقتراح لكيفية توسيع نظرية فيرما الأخيرة وإثباتها لجميع الأعداد، وليس بعضها فقط. كان من المهم بالنسبة للباحثين الذين اختاروا موضوع البحث حقيقة أنه، على عكس نظرية فيرما الأخيرة، كانت النظرية النمطية مجالًا نشطًا رئيسيًا للبحث تم تطوير دليل له، وليس مجرد غرابة تاريخية، لذا فإن الوقت المستغرق يمكن تبرير العمل عليه من وجهة نظر مهنية. ومع ذلك، كان الإجماع العام على أن حل تخمين تانياما-شيمورا لم يكن عمليا.

نظرية فيرما الأخيرة: برهان ويلز

بعد أن علم أن ريبيت أثبت صحة نظرية فراي، قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو وايلز، الذي كان مهتمًا بنظرية فيرما الأخيرة منذ الطفولة ولديه خبرة في العمل مع المنحنيات الإهليلجية والمجالات ذات الصلة، محاولة إثبات حدسية تانياما-شيمورا كوسيلة لإثبات صحة نظرية فراي. إثبات نظرية فيرما الأخيرة في عام 1993، بعد ست سنوات من إعلان هدفه، بينما كان يعمل سرًا على مشكلة حل النظرية، تمكن ويلز من إثبات حدسية ذات صلة، والتي بدورها ستساعده في إثبات نظرية فيرما الأخيرة. كانت وثيقة ويلز هائلة من حيث الحجم والنطاق.

تم اكتشاف الخلل في جزء واحد من ورقته البحثية الأصلية أثناء مراجعة النظراء، وتطلب الأمر عامًا آخر من التعاون مع ريتشارد تايلور لحل النظرية بشكل مشترك. ونتيجة لذلك، لم يتأخر إثبات ويلز النهائي لنظرية فيرما الأخيرة طويلاً. وفي عام 1995، تم نشره على نطاق أصغر بكثير من العمل الرياضي السابق لويلز، مما يوضح بوضوح أنه لم يكن مخطئًا في استنتاجاته السابقة حول إمكانية إثبات النظرية. تم نشر إنجاز ويلز على نطاق واسع في الصحافة الشعبية وانتشر في الكتب والبرامج التلفزيونية. الأجزاء المتبقية من حدسية تانياما-شيمورا-ويل، والتي تم إثباتها الآن والمعروفة باسم نظرية النمطية، تم إثباتها لاحقًا من قبل علماء رياضيات آخرين اعتمدوا على أعمال ويلز بين عامي 1996 و2001. ولإنجازه، تم تكريم ويلز وحصل على العديد من الجوائز، بما في ذلك جائزة أبيل لعام 2016.

يعد برهان ويلز لنظرية فيرما الأخيرة حالة خاصة لحل نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية. ومع ذلك، هذا هو الأكثر حالة مشهورةمثل هذه العملية الرياضية واسعة النطاق. إلى جانب حل نظرية ريبيت، حصل عالم الرياضيات البريطاني أيضًا على دليل على نظرية فيرما الأخيرة. كانت نظرية فيرما الأخيرة ونظرية الوحدات تعتبر غير قابلة للإثبات من قبل علماء الرياضيات المعاصرين، لكن أندرو وايلز كان قادرًا على أن يثبت للعالم العلمي بأكمله أنه حتى النقاد يمكن أن يكونوا مخطئين.

أعلن ويلز لأول مرة عن اكتشافه يوم الأربعاء 23 يونيو 1993 في محاضرة في كامبريدج بعنوان "الأشكال المعيارية والمنحنيات الإهليلجية وتمثيلات جالوا". ومع ذلك، في سبتمبر 1993، تقرر أن حساباته تحتوي على خطأ. وبعد مرور عام، في 19 سبتمبر 1994، فيما وصفه بـ "الأكثر". نقطة مهمةخلال حياته العملية،" عثر ويلز على اكتشاف سمح له بتصحيح حل المشكلة إلى الحد الذي يمكن أن يرضي المجتمع الرياضي.

خصائص العمل

يستخدم إثبات أندرو وايلز لنظرية فيرما العديد من التقنيات من الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد وله العديد من التشعبات في هذه المجالات من الرياضيات. كما أنه يستخدم التركيبات القياسية للهندسة الجبرية الحديثة، مثل فئة المخططات ونظرية إيواساوا، بالإضافة إلى أساليب القرن العشرين الأخرى التي لم تكن متاحة لبيير فيرما.

المقالتان اللتان تحتويان على الأدلة يبلغ مجموعهما 129 صفحة وتم كتابتهما على مدى سبع سنوات. وصف جون كوتس هذا الاكتشاف بأنه أحد أعظم إنجازات نظرية الأعداد، ووصفه جون كونواي بالإنجاز الرياضي الرئيسي في القرن العشرين. من أجل إثبات نظرية فيرما الأخيرة من خلال إثبات نظرية النمطية للحالة الخاصة للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، طور ويلز طرقًا قوية لرفع النمطية واكتشف طرقًا جديدة للعديد من المشكلات الأخرى. لحل نظرية فيرما الأخيرة حصل على لقب فارس وحصل على جوائز أخرى. عندما انتشرت الأخبار عن فوز ويلز بجائزة أبيل، وصفت الأكاديمية النرويجية للعلوم إنجازه بأنه "دليل رائع وأولي على نظرية فيرما الأخيرة".

كيف كان

أحد الأشخاص الذين راجعوا مخطوطة ويلز الأصلية للنظرية كان نيك كاتز. خلال مراجعته، سأل البريطاني سلسلة من الأسئلة التوضيحية، مما أجبر وايلز على الاعتراف بأن عمله يحتوي بوضوح على ثغرة. كان هناك خطأ في جزء مهم من الدليل الذي أعطى تقديرًا لترتيب مجموعة معينة: نظام أويلر المستخدم لتوسيع طريقة كوليفاجين وفلاخ كان غير مكتمل. لكن الخطأ لم يجعل عمله عديم الفائدة، فكل جزء من عمل وايلز كان مهمًا للغاية ومبتكرًا في حد ذاته، وكذلك العديد من التطورات والأساليب التي ابتكرها أثناء عمله والتي أثرت على جزء واحد فقط من العمل. مخطوطة. ومع ذلك، فإن هذا العمل الأصلي، الذي نُشر عام 1993، لم يقدم في الواقع دليلاً على نظرية فيرما الأخيرة.

أمضى وايلز ما يقرب من عام في محاولة إعادة اكتشاف حل النظرية، بمفرده في البداية ثم بالتعاون مع تلميذه السابق ريتشارد تايلور، ولكن بدا أن كل ذلك ذهب سدى. بحلول نهاية عام 1993، انتشرت شائعات مفادها أن دليل ويلز قد فشل في الاختبار، ولكن مدى خطورة الفشل لم يكن معروفًا. بدأ علماء الرياضيات بالضغط على وايلز للكشف عن تفاصيل عمله، سواء اكتمل أم لا، حتى يتمكن المجتمع الأوسع من علماء الرياضيات من استكشاف واستخدام كل ما حققه. بدلًا من تصحيح خطأه بسرعة، اكتشف ويلز تعقيدات إضافية في إثبات نظرية فيرما الأخيرة، وأدرك أخيرًا مدى صعوبتها.

يذكر ويلز أنه في صباح يوم 19 سبتمبر 1994، كان على وشك الاستسلام والاستسلام، وكاد أن يتقبل أنه فشل. لقد كان على استعداد لنشر عمله غير المكتمل حتى يتمكن الآخرون من البناء عليه ومعرفة الأخطاء التي ارتكبها. قرر عالم الرياضيات الإنجليزي أن يمنح نفسه فرصة أخيرة وقام بتحليل النظرية للمرة الأخيرة لمحاولة فهم الأسباب الرئيسية لعدم نجاح منهجه، عندما أدرك فجأة أن منهج كوليفاجين-فلاك لن ينجح حتى قام أيضًا بتضمين البراهين في عملية نظرية إيواساوا، وإنجاحها.

في 6 أكتوبر، طلب ويلز من ثلاثة من زملائه (بما في ذلك فالتينز) مراجعة عمله الجديد، وفي 24 أكتوبر 1994، قدم مخطوطتين، "المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" و"الخصائص النظرية لحلقة بعض جبر هيك". "، والثاني الذي شارك وايلز في كتابته مع تايلور وجادل بأنه تم استيفاء شروط معينة ضرورية لتبرير الخطوة المصححة في المقالة الرئيسية.

تمت مراجعة هاتين الورقتين ونشرتهما أخيرًا كطبعة نصية كاملة في عدد مايو 1995 من مجلة حوليات الرياضيات. تم تحليل حسابات أندرو الجديدة على نطاق واسع وقبلها المجتمع العلمي في النهاية. أسست هذه الأعمال نظرية النمطية للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، وهي الخطوة الأخيرة نحو إثبات نظرية فيرما الأخيرة، بعد 358 عامًا من إنشائها.

تاريخ المشكلة الكبرى

لقد اعتبر حل هذه النظرية أكبر مشكلة في الرياضيات لعدة قرون. في عام 1816 ومرة ​​أخرى في عام 1850، قدمت الأكاديمية الفرنسية للعلوم جائزة للإثبات العام لنظرية فيرما الأخيرة. في عام 1857، منحت الأكاديمية مبلغ 3000 فرنك وميدالية ذهبية لكومر لأبحاثه في الأعداد المثالية، على الرغم من أنه لم يتقدم بطلب للحصول على الجائزة. وعرضت عليه جائزة أخرى عام 1883 من أكاديمية بروكسل.

جائزة وولفسكيل

في عام 1908، ترك رجل الصناعة الألماني وعالم الرياضيات الهاوي بول فولفسكيل 100 ألف مارك ذهبي (مبلغ كبير في ذلك الوقت) لأكاديمية غوتنغن للعلوم كجائزة للإثبات الكامل لنظرية فيرما الأخيرة. وفي 27 يونيو 1908، نشرت الأكاديمية تسع قواعد للجوائز. ومن بين أمور أخرى، تطلبت هذه القواعد نشر الأدلة في مجلة خاضعة لمراجعة النظراء. ولم يتم منح الجائزة إلا بعد مرور عامين على نشرها. كان من المقرر أن تنتهي المسابقة في 13 سبتمبر 2007، أي بعد مرور قرن تقريبًا على بدئها. في 27 يونيو 1997، تلقى ويلز جائزة Wolfschel المالية ثم 50 ألف دولار أخرى. في مارس 2016، حصل على 600 ألف يورو من الحكومة النرويجية كجزء من جائزة أبيل "لإثباته المذهل لنظرية فيرما الأخيرة باستخدام التخمين النمطي للمنحنيات الإهليلجية شبه المستقرة، مما يفتح حقبة جديدة في نظرية الأعداد". لقد كان انتصارًا عالميًا للرجل الإنجليزي المتواضع.

قبل برهان ويلز، كانت نظرية فيرما، كما ذكرنا سابقًا، تعتبر غير قابلة للحل على الإطلاق لعدة قرون. تم تقديم الآلاف من الأدلة غير الصحيحة إلى لجنة وولفسكيل في أوقات مختلفة، والتي بلغت حوالي 10 أقدام (3 أمتار) من المراسلات. في السنة الأولى من وجود الجائزة وحدها (1907-1908)، تم تقديم 621 طلبًا تطالب بحل النظرية، على الرغم من أن هذا العدد انخفض بحلول السبعينيات إلى ما يقرب من 3-4 طلبات شهريًا. وفقًا لـ F. Schlichting، مراجع Wolfschel، فإن معظم الأدلة كانت مبنية على الأساليب الأولية التي يتم تدريسها في المدارس وغالبًا ما تم تقديمها من قبل "أشخاص لديهم التعليم التقنيولكنها مهنة فاشلة." وفقا لمؤرخ الرياضيات هوارد أفيس، فإن نظرية فيرما الأخيرة سجلت نوعا من السجل - إنها النظرية التي تحتوي على أكثر البراهين غير الصحيحة.

ذهبت أمجاد فيرمات إلى اليابانيين

كما ذكرنا سابقًا، في حوالي عام 1955، اكتشف عالما الرياضيات اليابانيان غورو شيمورا ويوتاكا تانياما وجود صلة محتملة بين فرعين مختلفين تمامًا من الرياضيات - المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية. تنص نظرية الوحدة الناتجة (المعروفة آنذاك باسم تخمين تانياما-شيمورا) من أبحاثهم على أن كل منحنى إهليلجي هو معياري، مما يعني أنه يمكن ربطه بشكل معياري فريد.

تم رفض النظرية في البداية باعتبارها غير محتملة أو تخمينية إلى حد كبير، ولكن تم أخذها على محمل الجد عندما وجد عالم الأعداد أندريه ويل أدلة تدعم النتائج التي توصل إليها اليابانيون. ونتيجة لذلك، كان يُطلق على هذا التخمين في كثير من الأحيان اسم حدسية تانياما-شيمورا-ويل. وأصبحت جزءًا من برنامج لانجلاندز، وهو عبارة عن قائمة من الفرضيات المهمة التي تتطلب إثباتًا في المستقبل.

وحتى بعد الاهتمام الجاد، اعترف علماء الرياضيات المعاصرون بأن هذا التخمين صعب للغاية أو ربما من المستحيل إثباته. الآن هذه النظرية هي التي تنتظر أندرو ويلز، الذي يمكنه أن يفاجئ العالم كله بحلها.

نظرية فيرما: برهان بيرلمان

على الرغم من الأسطورة الشعبية، فإن عالم الرياضيات الروسي غريغوري بيرلمان، على الرغم من كل عبقريته، لا علاقة له بنظرية فيرما. لكن هذا لا ينتقص بأي حال من الأحوال من خدماته العديدة للمجتمع العلمي.

لا يوجد الكثير من الأشخاص في العالم الذين لم يسمعوا من قبل عن نظرية فيرما الأخيرة - ربما تكون هذه هي المشكلة الرياضية الوحيدة التي أصبحت معروفة على نطاق واسع وأصبحت أسطورة حقيقية. تم ذكرها في العديد من الكتب والأفلام، والسياق الرئيسي لجميع الإشارات تقريبًا هو استحالة إثبات النظرية.

نعم، هذه النظرية معروفة جدًا، وبمعنى ما، أصبحت "صنمًا" يعبده علماء الرياضيات الهواة والمحترفون، لكن قلة من الناس يعرفون أنه تم العثور على دليل عليها، وقد حدث هذا في عام 1995. ولكن أول الأشياء أولا.

لذلك، فإن نظرية فيرما الأخيرة (غالبًا ما تسمى نظرية فيرما الأخيرة)، التي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي اللامع بيير فيرما عام 1637، بسيطة جدًا في جوهرها ومفهومة لأي شخص حاصل على تعليم ثانوي. تنص على أن الصيغة a أس n + b أس n = c أس n ليس لها حلول طبيعية (أي ليست كسرية) لـ n > 2. كل شيء يبدو بسيطًا وواضحًا، لكن لقد ناضل أفضل علماء الرياضيات والهواة العاديين في البحث عن حل لأكثر من ثلاثة قرون ونصف.

لماذا هي مشهورة جدا؟ والآن سنكتشف...

هل هناك العديد من النظريات المثبتة وغير المثبتة وغير المثبتة حتى الآن؟ النقطة هنا هي أن نظرية فيرما الأخيرة تمثل التناقض الأكبر بين بساطة الصياغة وتعقيد الإثبات. تعتبر نظرية فيرما الأخيرة مسألة صعبة للغاية، ومع ذلك يمكن لأي شخص في الصف الخامس من المدرسة الثانوية أن يفهم صياغتها، ولكن حتى كل عالم رياضيات محترف يمكنه فهم الدليل. لا يوجد في الفيزياء ولا في الكيمياء ولا في علم الأحياء ولا في الرياضيات مشكلة واحدة يمكن صياغتها بهذه البساطة، ولكنها ظلت دون حل لفترة طويلة. 2. مما تتكون؟

لنبدأ بسراويل فيثاغورس، الصياغة بسيطة جدًا - للوهلة الأولى. وكما نعلم منذ الصغر أن "بنطال فيثاغورس متساوي من جميع الجوانب". تبدو المشكلة بسيطة للغاية لأنها كانت مبنية على عبارة رياضية يعرفها الجميع - نظرية فيثاغورس: في أي مثلث قائم الزاوية، المربع المبني على الوتر يساوي مجموع المربعات المبنية على الساقين.

في القرن الخامس قبل الميلاد. أسس فيثاغورس أخوية فيثاغورس. درس الفيثاغوريون، من بين أمور أخرى، الأعداد الثلاثية الصحيحة التي تحقق المساواة x²+y²=z². لقد أثبتوا أن هناك عددًا لا نهائيًا من ثلاثيات فيثاغورس وحصلوا على صيغ عامة للعثور عليها. ربما حاولوا البحث عن درجات C ودرجات أعلى. واقتناعا منه بأن هذا لم ينجح، تخلى الفيثاغوريون عن محاولاتهم غير المجدية. كان أعضاء الأخوة فلاسفة وجماليات أكثر من علماء الرياضيات.

أي أنه من السهل اختيار مجموعة من الأرقام التي تحقق المساواة تمامًا x²+y²=z²

بدءًا من 3، 4، 5 - في الواقع، يفهم الطالب المبتدئ أن 9 + 16 = 25.

أو 5، 12، 13: 25 + 144 = 169. عظيم.

لذلك، اتضح أنهم ليسوا كذلك. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه الخدعة. البساطة واضحة، لأنه من الصعب إثبات عدم وجود شيء ما، بل على العكس من ذلك، عدم وجوده. عندما تحتاج إلى إثبات وجود حل، يمكنك ويجب عليك ببساطة تقديم هذا الحل.

وإثبات الغياب أصعب: فمثلاً يقول أحدهم: معادلة كذا وكذا ليس لها حل. أضعه في بركة؟ سهل: بام - وها هو الحل! (أعط الحل). وهذا كل شيء، هزم الخصم. كيفية إثبات الغياب؟

قل: "لم أجد مثل هذه الحلول"؟ أو ربما لم تكن تبدو بخير؟ وماذا لو كانت موجودة، لكنها كبيرة جدًا، كبيرة جدًا، لدرجة أنه حتى الكمبيوتر الفائق القوة لا يتمتع بالقوة الكافية بعد؟ وهذا هو ما هو صعب.

في في شكل مرئييمكن توضيح ذلك بهذه الطريقة: إذا أخذت مربعين بأحجام مناسبة وقمت بتفكيكهما إلى مربعات وحدة، فمن هذه الكومة من مربعات الوحدات تحصل على مربع ثالث (الشكل 2):


ولكن دعونا نفعل الشيء نفسه مع البعد الثالث (الشكل 3) - فهو لا يعمل. ليس هناك مكعبات كافية، أو هناك مكعبات إضافية متبقية:

لكن عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرما في القرن السابع عشر درس بحماس المعادلة العامة x n + y n = z n. وأخيرًا، خلصت إلى أنه بالنسبة لـ n>2 لا توجد حلول صحيحة. لقد ضاع دليل فيرما بشكل لا رجعة فيه. المخطوطات تحترق! كل ما تبقى هو ملاحظته في كتاب ديوفانتوس الحسابي: "لقد وجدت دليلاً رائعًا حقًا على هذا الاقتراح، لكن الهوامش هنا ضيقة جدًا بحيث لا تحتوي عليه".

في الواقع، النظرية التي ليس لها دليل تسمى فرضية. لكن فيرما يتمتع بسمعة طيبة لأنه لا يرتكب الأخطاء أبدًا. وحتى لو لم يترك دليلا على أقواله، فقد تم تأكيدها فيما بعد. علاوة على ذلك، أثبت فيرما أطروحته لـ n=4. وهكذا دخلت فرضية عالم الرياضيات الفرنسي التاريخ باسم نظرية فيرما الأخيرة.

بعد فيرما، عملت عقول عظيمة مثل ليونارد أويلر على البحث عن دليل (في عام 1770 اقترح حلاً لـ n = 3)،

أدريان ليجيندر ويوهان ديريشليت (هؤلاء العلماء وجدوا بشكل مشترك دليلاً على n = 5 في عام 1825)، وغابرييل لامي (الذي وجد دليلاً على n = 7) وغيرهم الكثير. وبحلول منتصف الثمانينات من القرن الماضي، أصبح من الواضح أن العالم العلمي كان في طريقه إلى الحل النهائي لنظرية فيرما الأخيرة، ولكن فقط في عام 1993 رأى علماء الرياضيات واعتقدوا أن ملحمة البحث عن برهان استمرت ثلاثة قرون انتهت نظرية فيرما الأخيرة عمليا.

من السهل إثبات أنه يكفي إثبات نظرية فيرما فقط من أجل n البسيط: 3، 5، 7، 11، 13، 17، ... بالنسبة إلى n المركب، يظل الإثبات صالحًا. ولكن هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية..

في عام 1825، وباستخدام طريقة صوفي جيرمان، أثبت عالما الرياضيات وديركليت وليجيندر بشكل مستقل نظرية n = 5. وفي عام 1839، وباستخدام نفس الطريقة، أظهر الفرنسي غابرييل لامي حقيقة نظرية n=7. تدريجيًا تم إثبات النظرية لجميع العدد الأقل من مائة تقريبًا.

وأخيرا، أظهر عالم الرياضيات الألماني إرنست كومر، في دراسة رائعة، أنه باستخدام أساليب الرياضيات في القرن التاسع عشر، فإن النظرية في منظر عاملا يمكن إثباته. ظلت جائزة الأكاديمية الفرنسية للعلوم، التي تأسست عام 1847 لإثبات نظرية فيرما، غير مُنحت.

في عام 1907، قرر رجل الصناعة الألماني الثري بول وولفسكيل الانتحار بسبب الحب غير المتبادل. مثل ألماني حقيقي، حدد تاريخ ووقت الانتحار: بالضبط عند منتصف الليل. وفي اليوم الأخير، كتب وصية وكتب رسائل إلى الأصدقاء والأقارب. انتهت الأمور قبل منتصف الليل. ويجب القول أن بولس كان مهتماً بالرياضيات. ولما لم يكن لديه أي شيء آخر ليفعله، ذهب إلى المكتبة وبدأ في قراءة مقال كومر الشهير. وفجأة بدا له أن كومر قد ارتكب خطأً في تفكيره. بدأ وولفسكيل بتحليل هذا الجزء من المقال بقلم رصاص في يديه. لقد مر منتصف الليل، وجاء الصباح. لقد تم ملء الفجوة في الدليل. والآن يبدو سبب الانتحار سخيفًا تمامًا. مزق بولس رسائل الوداع وأعاد كتابة وصيته.

وسرعان ما توفي لأسباب طبيعية. تفاجأ الورثة تمامًا: تم تحويل 100000 علامة تجارية (أكثر من 1000000 جنيه إسترليني حالي) إلى حساب الجمعية العلمية الملكية في غوتنغن، التي أعلنت في نفس العام عن مسابقة لجائزة Wolfskehl. مُنحت 100000 علامة للشخص الذي أثبت نظرية فيرما. لم يتم منح وسام فنيج لدحض النظرية...

اعتبر معظم علماء الرياضيات المحترفين أن البحث عن دليل على نظرية فيرما الأخيرة مهمة ميؤوس منها ورفضوا بشدة إضاعة الوقت في مثل هذا التمرين عديم الفائدة. لكن الهواة تعرضوا للانفجار. وبعد أسابيع قليلة من الإعلان، ضرب سيل من "الأدلة" جامعة غوتنغن. قام البروفيسور إي إم لانداو، الذي كانت مسؤوليته تحليل الأدلة المرسلة، بتوزيع البطاقات على طلابه:

عزيزي. . . . . . . .

شكرًا لك على إرسال المخطوطة لي مع إثبات نظرية فيرما الأخيرة. الخطأ الأول موجود في الصفحة ... في السطر ... . وبسببه يفقد الدليل كله صحته.
البروفيسور إي إم لانداو

في عام 1963، أثبت بول كوهين، بالاعتماد على النتائج التي توصل إليها جودل، عدم قابلية حل إحدى مسائل هيلبرت الثلاثة والعشرين - فرضية الاستمرارية. ماذا لو كانت نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحسم أيضًا؟! لكن المتعصبين الحقيقيين للنظرية الكبرى لم يشعروا بخيبة أمل على الإطلاق. ظهور أجهزة الكمبيوتر فجأة أعطى علماء الرياضيات أسلوب جديددليل. بعد الحرب العالمية الثانية، أثبتت فرق من المبرمجين وعلماء الرياضيات نظرية فيرما الأخيرة لجميع القيم حتى 500، ثم حتى 1000، وبعد ذلك حتى 10000.

وفي الثمانينيات، رفع صموئيل واجستاف الحد إلى 25000، وفي التسعينيات، أعلن علماء الرياضيات أن نظرية فيرما الأخيرة كانت صحيحة لجميع قيم n حتى 4 ملايين. لكن إذا طرحت حتى تريليون تريليون من اللانهاية، فلن تصبح أصغر. علماء الرياضيات غير مقتنعين بالإحصائيات. إن إثبات النظرية الكبرى يعني إثباتها للجميع وإلى ما لا نهاية.

في عام 1954، بدأ صديقان شابان من علماء الرياضيات اليابانيين في البحث عن الأشكال المعيارية. تولد هذه النماذج سلسلة من الأرقام، ولكل منها سلسلة خاصة به. عن طريق الصدفة، قارن تانياما هذه المتسلسلة مع المتسلسلة الناتجة عن المعادلات الإهليلجية. لقد تطابقوا! لكن الأشكال المعيارية هي كائنات هندسية، والمعادلات الإهليلجية هي جبرية. لم يتم العثور على أي اتصال بين هذه الكائنات المختلفة.

ومع ذلك، بعد اختبار دقيق، طرح الأصدقاء فرضية: كل معادلة إهليلجية لها توأم - نموذج معياري، والعكس صحيح. كانت هذه الفرضية هي التي أصبحت أساس الاتجاه بأكمله في الرياضيات، ولكن حتى يتم إثبات فرضية تانياما-شيمورا، يمكن أن ينهار المبنى بأكمله في أي لحظة.

في عام 1984، أظهر جيرهارد فراي أن حل معادلة فيرما، إذا كان موجودًا، يمكن تضمينه في بعض المعادلات الإهليلجية. وبعد عامين، أثبت البروفيسور كين ريبيت أن هذه المعادلة الافتراضية لا يمكن أن يكون لها نظير في العالم المعياري. من الآن فصاعدًا، أصبحت نظرية فيرما الأخيرة مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بحدسية تانياما-شيمورا. بعد أن أثبتنا أن أي منحنى إهليلجي هو منحنى معياري، نستنتج أنه لا توجد معادلة إهليلجية مع حل لمعادلة فيرما، وسيتم إثبات نظرية فيرما الأخيرة على الفور. لكن لمدة ثلاثين عامًا، لم يكن من الممكن إثبات فرضية تانياما-شيمورا، وكان الأمل في النجاح أقل فأقل.

في عام 1963، عندما كان عمره عشر سنوات فقط، كان أندرو ويلز مفتونًا بالرياضيات. عندما علم عن النظرية الكبرى، أدرك أنه لا يستطيع التخلي عنها. كتلميذ وطالب وطالب دراسات عليا، أعد نفسه لهذه المهمة.

بعد أن علم وايلز بالنتائج التي توصل إليها كين ريبيت، انغمس في إثبات فرضية تانياما-شيمورا. فقرر العمل في عزلة وسرية تامة. "لقد أدركت أن كل ما له علاقة بنظرية فيرما الأخيرة يثير الكثير من الاهتمام... من الواضح أن الكثير من المتفرجين يتدخلون في تحقيق الهدف." أثمرت سبع سنوات من العمل الشاق، وأكمل ويلز أخيرًا إثبات حدسية تانياما-شيمورا.

في عام 1993، قدم عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو ويلز للعالم برهانه على نظرية فيرما الأخيرة (قرأ ويلز ورقته المثيرة في مؤتمر في معهد السير إسحاق نيوتن في كامبريدج)، والذي استمر العمل فيه أكثر من سبع سنوات.

وبينما استمرت الضجة في الصحافة، بدأ العمل الجاد للتحقق من الأدلة. يجب فحص كل دليل بعناية قبل اعتبار الأدلة صارمة ودقيقة. قضى وايلز صيفًا مضطربًا في انتظار تعليقات المراجعين، على أمل أن يتمكن من الفوز بموافقتهم. وفي نهاية أغسطس/آب، وجد الخبراء أن الحكم غير مدعوم بأدلة كافية.

وتبين أن هذا القرار فيه خطأ فادح، رغم أنه صحيح بشكل عام. لم يستسلم ويلز، ودعا إلى مساعدة المتخصص الشهير في نظرية الأعداد ريتشارد تايلور، وفي عام 1994 نشروا دليلا مصححا وموسعا للنظرية. الأمر الأكثر إثارة للدهشة هو أن هذا العمل احتل ما يصل إلى 130 (!) صفحة في المجلة الرياضية "حوليات الرياضيات". لكن القصة لم تنته عند هذا الحد أيضًا - فلم يتم الوصول إلى النقطة النهائية إلا في العام التالي، 1995، عندما نُشرت النسخة النهائية و"المثالية" من وجهة نظر رياضية من الدليل.

"... بعد نصف دقيقة من بدء العشاء الاحتفالي بمناسبة عيد ميلادها، قدمت لنادية مخطوطة الإثبات الكامل" (أندرو ويلز). ألم أقل بعد أن علماء الرياضيات أناس غريبون؟

هذه المرة لم يكن هناك شك في الأدلة. خضعت مقالتان للتحليل الأكثر دقة وتم نشرهما في مايو 1995 في حوليات الرياضيات.

لقد مر الكثير من الوقت منذ تلك اللحظة، ولكن لا يزال هناك رأي في المجتمع بأن نظرية فيرما الأخيرة غير قابلة للحل. لكن حتى أولئك الذين يعرفون الدليل الذي تم العثور عليه يواصلون العمل في هذا الاتجاه - قليلون مقتنعون بأن النظرية الكبرى تتطلب حلاً مكونًا من 130 صفحة!

لذلك، يتم الآن بذل جهود العديد من علماء الرياضيات (معظمهم من الهواة، وليس العلماء المحترفين) للبحث عن دليل بسيط وموجز، ولكن هذا الطريق، على الأرجح، لن يؤدي إلى أي مكان...

مصدر

بالنسبة للأعداد الصحيحة n أكبر من 2، المعادلة x n + y n = z n ليس لها حلول غير صفرية في الأعداد الطبيعية.

ربما تتذكر من أيام المدرسة نظرية فيثاغورس: مربع الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي أضلاعه. قد تتذكر أيضًا الكلاسيكية مثلث قائممع جوانب أطوالها بنسبة 3: 4: 5. بالنسبة له تبدو نظرية فيثاغورس كما يلي:

هذا مثال على حل معادلة فيثاغورس المعممة في الأعداد الصحيحة غير الصفرية ن= 2. نظرية فيرما الأخيرة (وتسمى أيضًا "نظرية فيرما الأخيرة" و"نظرية فيرما الأخيرة") هي عبارة عن القيم ن> 2 معادلات النموذج س ن + ذ ن = ض نليس لها حلول غير الصفر في الأعداد الطبيعية.

إن تاريخ نظرية فيرما الأخيرة مثير للاهتمام ومفيد للغاية، وليس فقط لعلماء الرياضيات. ساهم بيير دي فيرما في تطوير مجالات مختلفة من الرياضيات، ولكن الجزء الرئيسي من تراثه العلمي لم يُنشر إلا بعد وفاته. الحقيقة هي أن الرياضيات بالنسبة لفيرمات كانت بمثابة هواية وليست مهنة احترافية. لقد تراسل مع كبار علماء الرياضيات في عصره، لكنه لم يسعى جاهداً لنشر أعماله. توجد كتابات فيرما العلمية بشكل رئيسي في شكل مراسلات خاصة وملاحظات مجزأة، غالبًا ما تكون مكتوبة في هوامش كتب مختلفة. وهي موجودة في هامش (المجلد الثاني من كتاب "الحساب" اليوناني القديم لديوفانتس. - ملحوظة مترجم) بعد فترة وجيزة من وفاة عالم الرياضيات، اكتشف أحفاد صياغة النظرية الشهيرة والملحق:

« لقد وجدت دليلاً رائعًا حقًا على ذلك، لكن هذه المجالات ضيقة جدًا بالنسبة له».

للأسف، على ما يبدو، لم يكلف فيرما عناء كتابة "الدليل المعجزي" الذي وجده، وبحث أحفاده عنه لأكثر من ثلاثة قرون دون جدوى. من بين كل التراث العلمي المتناثر لفيرمات، والذي يحتوي على العديد من البيانات المدهشة، كانت النظرية الكبرى هي التي رفضت بعناد أن يتم حلها.

من حاول إثبات نظرية فيرما الأخيرة ذهب سدى! ووصف عالم رياضيات فرنسي عظيم آخر، رينيه ديكارت (1596-1650)، فيرما بأنه "متبجح"، كما وصفه عالم الرياضيات الإنجليزي جون واليس (1616-1703) بأنه "الفرنسي اللعين". ومع ذلك، ترك فيرما نفسه وراءه دليلاً على نظريته لهذه القضية ن= 4. مع إثبات ل ن= 3 تم حلها على يد عالم الرياضيات السويسري الروسي العظيم في القرن الثامن عشر ليونارد أويلر (1707-1783)، وبعد ذلك لم يتمكن من العثور على دليل على ذلك. ن> 4، اقترح مازحا أن يتم تفتيش منزل فيرما للعثور على مفتاح الدليل المفقود. في القرن التاسع عشر، أتاحت الأساليب الجديدة في نظرية الأعداد إثبات العبارة للعديد من الأعداد الصحيحة ضمن 200، ولكن مرة أخرى، ليس للجميع.

وفي عام 1908، تم إنشاء جائزة قدرها 100 ألف مارك ألماني لحل هذه المشكلة. تم توريث صندوق الجائزة من قبل رجل الصناعة الألماني بول ولفسكيل، الذي، وفقًا للأسطورة، كان على وشك الانتحار، لكنه انجرف بنظرية فيرما الأخيرة لدرجة أنه غير رأيه بشأن الموت. ومع ظهور الآلات ومن ثم أجهزة الكمبيوتر، ظهر شريط القيمة نبدأ في الارتفاع أعلى وأعلى - إلى 617 مع بداية الحرب العالمية الثانية، إلى 4001 في عام 1954، إلى 125000 في عام 1976. في نهاية القرن العشرين، تمت برمجة أقوى أجهزة الكمبيوتر في المختبرات العسكرية في لوس ألاموس (نيو مكسيكو، الولايات المتحدة الأمريكية) لحل مشكلة فيرما في الخلفية (على غرار وضع شاشة التوقف للكمبيوتر الشخصي). وهكذا، كان من الممكن إثبات أن النظرية صحيحة بالنسبة للقيم الكبيرة بشكل لا يصدق س، ص، ضو ن، ولكن هذا لا يمكن أن يكون بمثابة دليل صارم، لأن أي من القيم التالية نأو ثلاثة توائم من الأعداد الطبيعية يمكن أن تدحض النظرية ككل.

وأخيرا، في عام 1994، نشر عالم الرياضيات الإنجليزي أندرو جون وايلز (مواليد 1953)، الذي كان يعمل في جامعة برينستون، دليلا على نظرية فيرما الأخيرة، والتي اعتبرت شاملة بعد بعض التعديلات. استغرق الدليل أكثر من مائة صفحة من صفحات المجلة واستند إلى الاستخدام جهاز حديثالرياضيات العليا التي لم يتم تطويرها في عصر فيرما. فماذا كان يقصد فيرما إذًا بترك رسالة على هامش الكتاب مفادها أنه وجد الدليل؟ أشار معظم علماء الرياضيات الذين تحدثت معهم حول هذا الموضوع إلى أنه على مر القرون كان هناك ما يكفي من الأدلة غير الصحيحة على نظرية فيرما الأخيرة، وأن فيرما نفسه على الأرجح قد وجد دليلاً مماثلاً، لكنه فشل في التعرف على الخطأ فيه. ومع ذلك، فمن الممكن أنه لا يزال هناك بعض الأدلة القصيرة والرائعة على نظرية فيرما الأخيرة والتي لم يعثر عليها أحد بعد. هناك شيء واحد فقط يمكن قوله على وجه اليقين: اليوم نحن نعرف على وجه اليقين أن النظرية صحيحة. أعتقد أن معظم علماء الرياضيات يتفقون دون تحفظ مع أندرو وايلز، الذي قال عن برهانه: «الآن أخيرًا أصبح ذهني في سلام».

تاريخ نظرية فيرما الأخيرة
قضية كبرى

ذات مرة، في نشرة إخبارية للعام الجديد حول كيفية صنع الخبز المحمص، ذكرت عرضًا أنه في نهاية القرن العشرين، حدث حدث عظيم لم يلاحظه الكثيرون - تم إثبات ما يسمى بنظرية فيرما الأخيرة أخيرًا. بخصوص هذا، من بين الرسائل التي تلقيتها، وجدت إجابتين من الفتيات (أحدهن، على ما أتذكر، كانت فيكا من زيلينوغراد في الصف التاسع)، والتي فوجئت بهذه الحقيقة.

وتفاجأت بمدى اهتمام الفتيات بمسائل الرياضيات الحديثة. لذلك، أعتقد أنه ليس فقط الفتيات، ولكن أيضا الأولاد من جميع الأعمار - من طلاب المدارس الثانوية إلى المتقاعدين، سيكونون مهتمين أيضًا بتعلم تاريخ النظرية العظيمة.

إن إثبات نظرية فيرما حدث عظيم. ولأن ليس من المعتاد المزاح بكلمة "عظيم"، ولكن يبدو لي أن كل متحدث يحترم نفسه (ونحن جميعًا متحدثين عندما نتحدث) ملزم ببساطة بمعرفة تاريخ النظرية.

إذا حدث أنك لا تحب الرياضيات بقدر ما أحبها، فقم بإلقاء نظرة سريعة على بعض التفاصيل.

مدركًا أنه ليس كل قراء رسالتنا الإخبارية مهتمين بالتجول في الغابة الرياضية، حاولت عدم تقديم أي صيغ (باستثناء معادلة نظرية فيرما وزوج من الفرضيات) وتبسيط تغطية بعض القضايا المحددة بقدر ما ممكن.

كيف أحدث فيرما الفوضى؟

طرح المحامي الفرنسي وعالم الرياضيات العظيم غير المتفرغ في القرن السابع عشر بيير فيرما (1601-1665) بيانًا مثيرًا للاهتمام من مجال نظرية الأعداد، والذي أصبح يُعرف فيما بعد باسم نظرية فيرما الكبرى (أو الكبرى). هذه هي واحدة من النظريات الرياضية الأكثر شهرة ورائعة. ربما لم تكن الإثارة حوله بهذه القوة لو كان في كتاب ديوفانتوس السكندري (القرن الثالث الميلادي) "الحساب" الذي درسه فيرما في كثير من الأحيان، وسجل ملاحظات في هوامشه الواسعة، والذي احتفظ به ابنه صموئيل بلطف للأجيال القادمة ، لم يتم اكتشاف السجل التالي تقريبًا لعالم الرياضيات العظيم:

"لدي بعض الأدلة المذهلة للغاية، لكنها كبيرة جدًا بحيث لا يمكن وضعها في الهوامش."

كان هذا التسجيل هو سبب الضجة الهائلة اللاحقة حول النظرية.

إن قصة النظرية العظيمة رائعة مثل مغامرة عبر الزمن. وفي عام 1636 ذكر فيرما معادلة من الشكل س ن +ص ن =ض نليس له حلول في الأعداد الصحيحة ذات الأس n>2. هذه في الواقع نظرية فيرما الأخيرة. في هذه الصيغة الرياضية التي تبدو بسيطة، يخفي الكون تعقيدًا لا يصدق. حتى أن عالم الرياضيات الأمريكي الاسكتلندي المولد إريك تيمبل بيل اقترح في كتابه "المشكلة النهائية" (1961) أنه ربما تتوقف البشرية عن الوجود قبل أن تتمكن من إثبات نظرية فيرما الأخيرة.

ومن الغريب إلى حد ما أن النظرية تأخرت في ظهورها لسبب ما، حيث أن الوضع كان يختمر منذ فترة طويلة، لأن حالتها الخاصة مع n = 2 - وهي صيغة رياضية أخرى مشهورة - وهي نظرية فيثاغورس، نشأت في اثنين وعشرين قرنا سابقًا. على عكس نظرية فيرما، فإن نظرية فيثاغورس لها عدد لا نهائي من حلول الأعداد الصحيحة، على سبيل المثال مثلثات فيثاغورس التالية: (3،4،5)، (5،12،13)، (7،24،25)، (8،15) ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

متلازمة النظرية الكبرى

من منا لم يحاول إثبات نظرية فيرما؟ اعتبر أي طالب جديد أنه من واجبه أن يطبق نفسه على النظرية الكبرى، لكن لم يتمكن أحد من إثبات ذلك. في البداية لم ينجح الأمر لمدة مائة عام. ثم مائة أخرى. وأكثر من ذلك. بدأت متلازمة الكتلة تتطور بين علماء الرياضيات: "كيف يمكن أن يكون هذا فيرمات أثبت ذلك، لكني لا أستطيع أن أفعل ذلك، أم ماذا؟" - ومنهم من جن جنونه على هذا الأساس بكل معنى الكلمة.

وبغض النظر عن عدد المرات التي تم فيها اختبار النظرية، فإنها دائمًا ما تكون صحيحة. كنت أعرف مبرمجًا نشيطًا كان مهووسًا بفكرة دحض النظرية الكبرى من خلال محاولة إيجاد حل واحد على الأقل (مثال مضاد) عن طريق تعداد الأعداد الصحيحة باستخدام جهاز كمبيوتر عالي السرعة (في ذلك الوقت كان يُطلق عليه بشكل أكثر شيوعًا حاسب مركزي). لقد آمن بنجاح مشروعه وأحب أن يقول: "أكثر من ذلك بقليل - وسوف يندلع ضجة كبيرة!" أعتقد أنه في أماكن مختلفة من كوكبنا كان هناك عدد كبير من هذا النوع من الباحثين الشجعان. وهو بالطبع لم يجد حلاً واحداً. ولا يمكن لأي جهاز كمبيوتر، حتى مع سرعته المذهلة، التحقق من النظرية، لأن جميع متغيرات هذه المعادلة (بما في ذلك الأسس) يمكن أن تزيد إلى ما لا نهاية.

النظرية تتطلب إثباتا

يعرف علماء الرياضيات أنه إذا لم يتم إثبات النظرية، فيمكن أن يترتب عليها أي شيء (صحيح أو كاذب)، كما كان الحال مع بعض الفرضيات الأخرى. على سبيل المثال، اقترح بيير فيرما في إحدى رسائله أن الأعداد ذات الشكل 2 ن +1 (ما يسمى بأرقام فيرما) هي بالضرورة بسيطة (أي أنها لا تحتوي على قواسم صحيحة وقابلة للقسمة بدون باقي فقط على أنفسهم وبواحد)، إذا كانت n قوة اثنين (1، 2، 4، 8، 16، 32، 64، إلخ). عاشت فرضية فيرما هذه لأكثر من مائة عام - حتى أظهر ليونارد أويلر ذلك في عام 1732

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

ثم، بعد مرور 150 عامًا تقريبًا (1880)، قام فورتشن لاندري بتحليل عدد فيرما التالي:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

وكيف تمكنوا من إيجاد قواسم هذه الأعداد الكبيرة دون مساعدة أجهزة الكمبيوتر - الله وحده أعلم. بدوره، افترض أويلر أن المعادلة x 4 +y 4 +z 4 =u 4 ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة. ومع ذلك، بعد حوالي 250 عامًا، في عام 1988، تمكن ناحوم إلكيس من جامعة هارفارد من اكتشاف (باستخدام برنامج كمبيوتر) أن

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

لذلك، كانت نظرية فيرما الأخيرة تتطلب إثباتًا، وإلا كانت مجرد فرضية، ومن الممكن أن يكون حل معادلة النظرية الكبرى في مكان ما في حقول الأرقام التي لا نهاية لها قد ضاع.

أثبت ليونارد أويلر، عالم الرياضيات الأكثر إبداعًا وإنتاجًا في القرن الثامن عشر، والذي كانت البشرية تنقب في أرشيفه من السجلات منذ ما يقرب من قرن، نظرية فيرما للقوى 3 و4 (أو بالأحرى، كرر البراهين المفقودة لبيير فيرما نفسه) ; أتباعه في نظرية الأعداد، ليجيندر (وأيضًا بشكل مستقل عنه ديريشليت) - للدرجة الخامسة؛ عرجاء - للدرجة 7. ولكن بشكل عام، ظلت النظرية غير مثبتة.

في الأول من مارس عام 1847، وفي اجتماع لأكاديمية باريس للعلوم، أعلن اثنان من علماء الرياضيات البارزين - غابرييل لامي وأوغستين كوشي - أنهما وصلا إلى نهاية إثبات النظرية الكبرى وبدأا السباق، ونشرا إثباتاتهما في القطع. إلا أن المبارزة بينهما توقفت بسبب اكتشاف نفس الخطأ في براهينهما، وهو ما أشار إليه عالم الرياضيات الألماني إرنست كومر.

في بداية القرن العشرين (1908)، ترك رجل الأعمال الألماني الثري والمحسن والعالم بول ولفسكيل مائة ألف علامة تجارية للشخص الذي سيقدم دليلاً كاملاً على نظرية فيرما. بالفعل في السنة الأولى بعد نشر وصية فولفسكيل من قبل أكاديمية غوتنغن للعلوم، تم غمرها بآلاف البراهين من هواة الرياضيات، ولم يتوقف هذا التدفق لعقود من الزمن، ولكن جميعها، كما خمنت، تحتوي على أخطاء . يقولون أن الأكاديمية أعدت نماذج بالمحتوى التالي تقريبًا:

عزيزي __________________________!
في إثبات نظرية فيرما في ____ الصفحة في ____ السطر في الأعلى
تم اكتشاف الخطأ التالي في الصيغة:__________________________:،

والتي تم إرسالها إلى المتقدمين للجائزة سيئ الحظ.

في ذلك الوقت، ظهر لقب شبه ازدراء بين علماء الرياضيات - مزارع. كان هذا هو الاسم الذي يطلق على أي مغرور واثق من نفسه ويفتقر إلى المعرفة، ولكن لديه ما يكفي من الطموح ليبذل قصارى جهده على عجل لإثبات النظرية الكبرى، وبعد ذلك، دون أن يلاحظ أخطائه، يصفع نفسه بفخر على صدره، معلنًا بصوت عالٍ : "كنت أول من أثبت نظرية فيرما!" كل مزارع، حتى لو كان العشرة آلاف، يعتبر نفسه الأول - كان مضحكا. لقد ذكّر المظهر البسيط للنظرية الكبرى المزارعين كثيرًا بالهدف السهل لدرجة أنهم لم يشعروا بالحرج على الإطلاق من عدم تمكن حتى أويلر وجاوس من التعامل معه.

(من الغريب أن الفرماتيين ما زالوا موجودين حتى اليوم. وعلى الرغم من أن أحدهم لم يعتقد أنه أثبت النظرية، مثل الفرماتي الكلاسيكي، إلا أنه قام بمحاولات حتى وقت قريب - لقد رفض تصديقي عندما أخبرته أن نظرية فيرما قد تم إثباتها بالفعل) ثبت).

ربما حاول أقوى علماء الرياضيات، في هدوء مكاتبهم، الاقتراب بعناية من هذا الحديد المستحيل، لكنهم لم يقولوا ذلك بصوت عالٍ، حتى لا يتم تصنيفهم على أنهم مزارعون، وبالتالي، عدم الإضرار بسلطتهم العليا.

وبحلول ذلك الوقت، ظهر دليل على نظرية الأس n<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

فرضية غريبة

حتى منتصف القرن العشرين، لم يكن هناك تقدم كبير في تاريخ النظرية الكبرى. ولكن سرعان ما حدث حدث مثير للاهتمام في الحياة الرياضية. في عام 1955، طرح عالم الرياضيات الياباني يوتاكا تانياما البالغ من العمر 28 عامًا بيانًا من مجال مختلف تمامًا من الرياضيات، يُسمى حدسية تانياما (المعروفة أيضًا باسم حدسية تانياما-شيمورا-ويل)، والتي، على عكس نظرية فيرما المتأخرة، كانت متقدمة من وقته.

ينص حدس تانياما على ما يلي: "كل منحنى إهليلجي يتوافق مع شكل معياري معين." بدت هذه العبارة سخيفة لعلماء الرياضيات في ذلك الوقت كما تبدو لنا العبارة: "كل شجرة تتوافق مع معدن معين". ليس من الصعب تخمين كيفية رد فعل شخص عادي على مثل هذا البيان - فهو ببساطة لن يأخذ الأمر على محمل الجد، وهو ما حدث: تجاهل علماء الرياضيات الفرضية بالإجماع.

القليل من التوضيح. المنحنيات الإهليلجية، المعروفة منذ زمن طويل، لها مظهر ثنائي الأبعاد (تقع على مستوى). الوظائف المعيارية، التي تم اكتشافها في القرن التاسع عشر، لها شكل رباعي الأبعاد، لذلك لا يمكننا حتى أن نتخيلها بأدمغتنا ثلاثية الأبعاد، ولكن يمكننا وصفها رياضيًا؛ بالإضافة إلى ذلك، فإن الأشكال المعيارية مذهلة من حيث أنها تتمتع بأقصى قدر ممكن من التماثل - حيث يمكن ترجمتها (إزاحتها) في أي اتجاه، أو عكسها، أو تبديل الأجزاء، أو تدويرها بطرق لا حصر لها - ومع ذلك فإن مظهرها لا يتغير. كما ترون، هناك القليل من القواسم المشتركة بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية. تنص فرضية تانياما على أن المعادلات الوصفية لكائنين رياضيين مختلفين تمامًا يمكن توسيعهما إلى نفس السلسلة الرياضية.

كانت فرضية تانياما متناقضة للغاية: فقد جمعت بين مفاهيم مختلفة تمامًا - منحنيات مسطحة بسيطة إلى حد ما وأشكال رباعية الأبعاد لا يمكن تصورها. هذا لم يخطر على بال أحد قط عندما أظهر تانياما، في ندوة رياضية دولية في طوكيو في سبتمبر 1955، العديد من التطابقات بين المنحنيات الإهليلجية والأشكال المعيارية، رأى الجميع أن هذا ليس أكثر من مجرد مصادفات مسلية. بالنسبة لسؤال تانياما المتواضع: هل من الممكن العثور على الدالة المعيارية المقابلة لكل منحنى إهليلجي، قدم الفرنسي الموقر أندريه ويل، الذي كان في ذلك الوقت أحد أفضل المتخصصين في العالم في نظرية الأعداد، إجابة دبلوماسية تمامًا، كما يقولون، إذا لم يترك تانياما الفضولي الحماس، فربما يكون محظوظًا وسيتم تأكيد فرضيته المذهلة، لكن هذا ربما لن يحدث قريبًا. بشكل عام، مثل العديد من الاكتشافات البارزة الأخرى، ظلت فرضية تانياما في البداية دون أن يلاحظها أحد لأن الناس لم ينضجوا بعد بما يكفي لفهمها - لم يفهمها أحد تقريبًا.

بعد ثلاث سنوات (1958)، انتحر يوتاكا تانياما (ومع ذلك، تقاليد الساموراي قوية في اليابان). من وجهة نظر الفطرة السليمة، هذا عمل غير مفهوم، خاصة بالنظر إلى أنه سيتزوج قريبا جدا.

بدأ زعيم علماء الرياضيات اليابانيين رسالة انتحاره بهذه الطريقة: "بالأمس فقط لم أفكر في الانتحار. لقد سمعت كثيرًا من الآخرين مؤخرًا أنني متعب عقليًا وجسديًا. في الواقع، ما زلت لا أفهم لماذا ". أنا أفعل هذا..." وهكذا على ثلاث أوراق. من المؤسف، بالطبع، أن هذا كان مصير شخص مثير للاهتمام، لكن كل العباقرة غريبون بعض الشيء - ولهذا السبب هم عباقرة (لسبب ما تتبادر إلى ذهني كلمات آرثر شوبنهاور: "في الحياة العادية، عبقري مفيد مثل التلسكوب في المسرح "). الفرضية يتيمة. ولم يعرف أحد كيف يثبت ذلك.

ولمدة عشر سنوات تقريبًا، بالكاد تذكروا فرضية تانياما. ولكن في أوائل السبعينيات، أصبحت شعبية - تم اختبارها بانتظام من قبل كل من يستطيع فهمها - وتم تأكيدها دائما (كما هو الحال في الواقع، نظرية فيرما)، ولكن، كما كان من قبل، لا أحد يستطيع إثبات ذلك.

علاقة مدهشة بين فرضيتين

مرت حوالي 15 سنة أخرى. في عام 1984، وقع حدث رئيسي في حياة الرياضيات، وهو الجمع بين الفرضية اليابانية الباهظة ونظرية فيرما الأخيرة. وطرح الألماني جيرهارد فراي عبارة مثيرة للاهتمام تشبه النظرية: "إذا تم إثبات فرضية تانياما، فسيتم إثبات نظرية فيرما الأخيرة أيضًا". وبعبارة أخرى، فإن نظرية فيرما هي نتيجة لحدسية تانياما. (قام فراي، باستخدام تحويلات رياضية ذكية، باختزال معادلة فيرما إلى شكل معادلة منحنى إهليلجي (نفس المعادلة التي تظهر في فرضية تانياما)، وقد أثبت افتراضه بشكل أو بآخر، لكنه لم يتمكن من إثباته). وبعد عام ونصف فقط (1986)، أثبت الأستاذ بجامعة كاليفورنيا كينيث ريبيت بوضوح نظرية فراي.

ماذا حدث الآن؟ والآن يتبين أنه بما أن نظرية فيرما هي بالفعل نتيجة طبيعية لحدسية تانياما، فكل ما يحتاجه المرء هو إثبات الأخير من أجل الفوز بأمجاد منتصر نظرية فيرما الأسطورية. لكن تبين أن الفرضية صعبة. بالإضافة إلى ذلك، أصبح علماء الرياضيات على مر القرون حساسين تجاه نظرية فيرما، وقرر العديد منهم أنه سيكون من المستحيل تقريبًا التعامل مع حدسية تانياما.

لقد مرت 8 سنوات أخرى. اعتقد أندرو وايلز، أستاذ اللغة الإنجليزية التقدمي للرياضيات من جامعة برينستون (نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية)، أنه وجد دليلاً على حدسية تانياما. إذا لم يكن العبقري أصلعًا، فعادةً ما يكون أشعثًا. ويلز أشعث وبالتالي يبدو وكأنه عبقري. كان دخول التاريخ بالطبع مغريًا ومرغوبًا للغاية، لكن ويلز، مثل العالم الحقيقي، لم يخدع نفسه، مدركًا أن آلاف المزارعين الذين سبقوه رأوا أيضًا أدلة وهمية. لذلك، قبل تقديم برهانه للعالم، قام بفحصه بعناية بنفسه، لكنه أدرك أنه قد يكون لديه تحيز شخصي، كما أشرك آخرين في عمليات التحقق، على سبيل المثال، تحت ستار المهام الرياضية العادية، قام أحيانًا بإلقاء شظايا مختلفة من برهانه لطلاب الدراسات العليا الذكية. اعترف ويلز لاحقًا أنه لم يكن أحد باستثناء زوجته يعلم أنه كان يعمل على إثبات النظرية الكبرى.

وبعد الكثير من الاختبارات والتفكير المؤلم، استجمع ويلز أخيرًا الشجاعة، أو ربما، كما بدا له، الغطرسة، وفي 23 يونيو 1993، في مؤتمر رياضي حول نظرية الأعداد في كامبريدج، أعلن عن إنجازه العظيم.

كان هذا بالطبع ضجة كبيرة. لم يتوقع أحد مثل هذه خفة الحركة من عالم رياضيات غير معروف. ظهرت الصحافة على الفور. كان الجميع يتعذبون بسبب الاهتمام المشتعل. ظهرت صيغ رفيعة، مثل ضربات لوحة جميلة، أمام أعين المتجمعين الفضولية.

علماء الرياضيات الحقيقيون، هم هكذا، ينظرون إلى جميع أنواع المعادلات ولا يرون فيها أرقامًا وثوابت ومتغيرات، ولكنهم يسمعون الموسيقى، كما ينظر موزارت إلى طاقم العمل. تمامًا كما عندما نقرأ كتابًا، ننظر إلى الحروف، لكن يبدو أننا لا نلاحظها، ولكننا ندرك على الفور معنى النص.

قام ويلز بتحليل الموقف وقرر أنه خسر. يمكن للمرء أن يتخيل كيف شعر بكل كيانه بما يعنيه "خطوة واحدة من العظيم إلى السخيف". "أردت أن أدخل التاريخ، لكن بدلاً من ذلك أصبحت جزءًا من فريق من المهرجين والكوميديين - المزارعين المتعجرفين" - كانت هذه هي الأفكار التي أرهقته خلال تلك الفترة الصعبة من حياته. بالنسبة له، وهو عالم رياضيات جاد، كانت هذه مأساة، وألقى بدليله في غياهب النسيان.

ولكن بعد ما يزيد قليلاً عن عام، في سبتمبر 1994، بينما كان يفكر في عنق الزجاجة في الدليل مع زميله تايلور من أكسفورد، ذهل الأخير فجأة بفكرة أنه يمكن استبدال "نظام أويلر" بنظرية إيواساوا (أ) فرع من نظرية الأعداد). ثم حاولوا استخدام نظرية إيواساوا، والاستغناء عن "نظام أويلريان"، ونجح كل شيء لصالحهم.

تم تقديم النسخة المصححة من الدليل للتحقق وبعد مرور عام أُعلن أن كل شيء فيها واضح تمامًا، دون خطأ واحد. في صيف عام 1995، في إحدى المجلات الرياضية الرائدة - "سجلات الرياضيات" - تم نشر دليل كامل على تخمين تانياما (ومن هنا جاءت نظرية فيرما العظيمة)، والتي تناولت القضية بأكملها - أكثر من مائة صفحة. والدليل معقد للغاية لدرجة أن بضع عشرات فقط من الأشخاص حول العالم يمكنهم فهمه بالكامل.

وهكذا، في نهاية القرن العشرين، أدرك العالم أجمع أن مبرهنة فيرما الأخيرة، في العام الـ360 من عمرها، والتي كانت في الواقع مجرد فرضية طوال هذا الوقت، أصبحت أخيراً نظرية مثبتة. أثبت أندرو ويلز نظرية فيرما العظيمة ودخلها التاريخ.

فكر فقط، لقد أثبتوا بعض النظريات... إن سعادة المكتشف تذهب دائمًا إلى شخص واحد - فهو الذي يكسر الجوز الصلب للمعرفة بآخر ضربة للمطرقة. لكن لا يمكننا أن نتجاهل الضربات العديدة السابقة التي شكلت لقرون صدعًا في النظرية الكبرى: أويلر وجاوس (ملوك الرياضيات في عصرهم)، إيفاريست جالوا (الذي تمكن من تأسيس نظريات المجموعات والمجالات في كتابه القصير 21- سنة من الحياة، الذي تم الاعتراف بعمله باعتباره عبقريًا فقط بعد وفاته)، هنري بوانكاريه (مؤسس ليس فقط الأشكال المعيارية الغريبة، ولكن أيضًا التقليدية - حركة فلسفية)، ديفيد جيلبرت (أحد أقوى علماء الرياضيات في القرن العشرين) ، يوتاكا تانياما، غورو شيمورا، مورديل، فالتينجز، إرنست كومر، باري مازور، غيرهارد فراي، كين ريبيت، ريتشارد تايلور وآخرونعلماء حقيقيون

يمكن وضع إثبات نظرية فيرما الأخيرة على قدم المساواة مع إنجازات القرن العشرين مثل اختراع الكمبيوتر، والقنبلة النووية، والرحلات الفضائية. على الرغم من أنه ليس معروفًا على نطاق واسع، لأنه لا يغزو منطقة اهتماماتنا المباشرة، مثل جهاز تلفزيون أو مصباح كهربائي، إلا أنه كان انفجارًا مستعرًا أعظم، والذي، مثل كل الحقائق الثابتة، سوف يلمع دائمًا للبشرية.

يمكنك أن تقول: "فكر فقط، لقد أثبتوا بعض النظريات، من يحتاجها؟". سؤال عادل. إجابة ديفيد جيلبرت تناسب هنا بالضبط. وعندما سُئل: "ما هي المهمة الأكثر أهمية للعلم الآن؟"، أجاب: "امسك ذبابة على الجانب البعيد من القمر،" سُئل بشكل معقول: " و من يحتاجها؟"، فأجاب:" لا أحد يحتاج إلى هذا. لكن فكر في عدد المسائل المهمة والمعقدة التي يجب حلها من أجل تحقيق ذلك." فكر في عدد المسائل التي تمكنت البشرية من حلها خلال 360 عامًا قبل إثبات نظرية فيرما. تم اكتشاف ما يقرب من نصف الرياضيات الحديثة أثناء البحث عن مبرهنتها. من الضروري أيضًا أن نأخذ في الاعتبار أن الرياضيات هي طليعة العلوم (وبالمناسبة، العلم الوحيد الذي تم بناؤه دون خطأ واحد)، وهنا تبدأ أي إنجازات واختراعات علمية. "فقط العقيدة التي تم تأكيدها رياضيا يمكن الاعتراف بها كعلم".

* * *

الآن دعونا نعود إلى بداية قصتنا، وتذكر ملاحظة بيير فيرما في هوامش كتاب ديوفانتوس المدرسي ونطرح السؤال مرة أخرى: هل أثبت فيرما نظريته حقًا؟ نحن، بالطبع، لا نستطيع أن نعرف ذلك على وجه اليقين، وكما هو الحال على أي حال، تنشأ إصدارات مختلفة هنا:

النسخة 1:أثبت فيرما نظريته. (عندما سُئل: "هل كان لدى فيرما نفس الدليل على نظريته؟"، أجاب أندرو وايلز: "لا يمكن أن يكون لدى فيرما نفس الدليل على نظريته؟" مثلهدليل. وهذا دليل على القرن العشرين." أنا وأنت نفهم أن الرياضيات في القرن السابع عشر، بالطبع، لم تكن هي نفسها كما كانت في نهاية القرن العشرين - في تلك الحقبة، لم تكن أرتاجنان، ملكة العلوم، قد أصبحت بعد لدينا تلك الاكتشافات (الأشكال المعيارية، ونظريات تانياما، فريا، وما إلى ذلك)، والتي مكنت وحدها من إثبات نظرية فيرما الأخيرة، بالطبع، يمكن للمرء أن يفترض: لماذا بحق الجحيم يخمن فيرما هذا الإصدار، على الرغم من أنه محتمل ، هو، وفقا لمعظم علماء الرياضيات، مستحيل عمليا)؛
الإصدار 2:اعتقد بيير فيرما أنه أثبت نظريته، ولكن كانت هناك أخطاء في برهانه. (أي أن فيرما نفسه كان أيضًا المزارع الأول)؛
الإصدار 3:لم يثبت فيرما نظريته، بل كذب ببساطة في الهوامش.

إذا كانت إحدى الروايتين الأخيرتين صحيحة، وهو الأرجح، فيمكننا استخلاص نتيجة بسيطة: الأشخاص العظماء، على الرغم من أنهم عظماء، إلا أنهم قد يرتكبون الأخطاء أيضًا أو في بعض الأحيان لا يكرهون الكذب(في الغالب سيكون هذا الاستنتاج مفيدًا لأولئك الذين يميلون إلى الثقة الكاملة بأصنامهم وحكام الأفكار الآخرين). لذلك، عند قراءة أعمال أبناء الإنسانية الموثوقين أو الاستماع إلى خطبهم المثيرة للشفقة، لديك كل الحق في الشك في تصريحاتهم. (يرجى ملاحظة ذلك الشك لا يعني الرفض).

لا يمكن إعادة إنتاج مواد المقالة إلا من خلال روابط إلزامية للموقع (على الإنترنت - ارتباط تشعبي) وللمؤلف

نظرية فيرما العظيمة - تصريح لبيير فيرما (محامي فرنسي وعالم رياضيات غير متفرغ) بأن المعادلة الديوفانتية X n + Y n = Z n ، مع الأس n>2، حيث n = عدد صحيح، ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة أرقام إيجابية. نص المؤلف: "من المستحيل تفكيك المكعب إلى مكعبين، أو تحلل الثنائي إلى ثنائي المربعات، أو بشكل عام قوة أكبر من اثنين إلى قوتين بنفس الأس."

"فيرمات ونظريته"، أماديو موديجلياني، 1920

توصل بيير إلى هذه النظرية في 29 مارس 1636. وبعد حوالي 29 سنة مات. ولكن هذا هو المكان الذي بدأ فيه كل شيء. ففي نهاية المطاف، ورث عاشق رياضيات ألماني ثري يُدعى فولفسكيل مائة ألف علامة للشخص الذي سيقدم دليلاً كاملاً على نظرية فيرما! لكن الإثارة حول النظرية لم تكن مرتبطة بهذا فحسب، بل أيضًا بالشغف الرياضي الاحترافي. ألمح فيرمات نفسه لمجتمع الرياضيين إلى أنه يعرف الدليل - وقبل وقت قصير من وفاته، في عام 1665، ترك الملاحظة التالية في هوامش كتاب ديوفانتوس السكندري "الحساب": "لدي دليل صارخ للغاية، لكنه أكبر من أن أتمكن من تقديمه". يتم وضعها في الحقول."

كان هذا التلميح (بالإضافة إلى الجائزة النقدية بالطبع) هو الذي أجبر علماء الرياضيات على قضاء وقتهم في البحث عن دليل دون جدوى. أفضل السنوات(وفقًا لحسابات العلماء الأمريكيين، قضى علماء الرياضيات المحترفون وحدهم ما مجموعه 543 عامًا في هذا الأمر).

في مرحلة ما (في عام 1901)، اكتسب العمل على نظرية فيرما سمعة مشكوك فيها المتمثلة في "العمل المشابه للبحث عن آلة الحركة الدائمة" (حتى ظهر مصطلح مهين - "الفرماتيون"). وفجأة، في 23 يونيو 1993، في مؤتمر رياضي حول نظرية الأعداد في كامبريدج، أعلن أندرو ويلز، أستاذ الرياضيات الإنجليزي من جامعة برينستون (نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية)، أن فيرما أثبت ذلك أخيرًا!

ومع ذلك، لم يكن الدليل معقدًا فحسب، بل كان أيضًا خاطئًا بشكل واضح، كما أشار ويلز إلى ذلك من قبل زملائه. لكن البروفيسور وايلز كان يحلم طوال حياته بإثبات النظرية، لذلك ليس من المستغرب أنه في مايو 1994 قدم نسخة جديدة منقحة من الإثبات إلى المجتمع العلمي. لم يكن هناك انسجام أو جمال فيه، وكان لا يزال معقدًا للغاية - حقيقة أن علماء الرياضيات أمضوا عامًا كاملاً (!) في تحليل هذا الدليل لفهم ما إذا كان خاطئًا يتحدث عن نفسه!

ولكن في النهاية، تبين أن دليل ويلز صحيح. لكن علماء الرياضيات لم يغفروا لبيير فيرما على تلميحه في "الحساب"، وفي الواقع، بدأوا في اعتباره كاذبا. وفي الواقع، فإن أول شخص شكك في نزاهة فيرما الأخلاقية كان أندرو وايلز نفسه، الذي أشار إلى أن "فيرمات لم يكن من الممكن أن يكون لديه مثل هذا الدليل. وهذا دليل من القرن العشرين". ثم أصبح الرأي بين علماء آخرين أقوى بأن فيرما «لم يتمكن من إثبات نظريته بطريقة مختلفة، ولم يتمكن فيرما من إثباتها بالطريقة التي أخذها ويلز لأسباب موضوعية».

في الواقع، يمكن لفيرمات، بالطبع، إثبات ذلك، وبعد ذلك بقليل سيتم إعادة إنشاء هذا الدليل من قبل محللي الموسوعة التحليلية الجديدة. ولكن ما هي هذه "الأسباب الموضوعية"؟
يوجد في الواقع سبب واحد فقط من هذا القبيل: في تلك السنوات التي عاش فيها فيرما، لم يكن من الممكن ظهور حدسية تانياما، التي بنى عليها أندرو وايلز برهانه، لأن الوظائف المعيارية التي تعمل بها حدسية تانياما لم يتم اكتشافها إلا في نهاية القرن التاسع عشر. قرن.

كيف أثبت ويلز نفسه النظرية؟ السؤال ليس خاملا، بل هو مهم لفهم كيف يمكن لفيرمات نفسه أن يثبت نظريته. اعتمد ويلز في برهانه على إثبات حدسية تانياما، التي طرحها عام 1955 عالم الرياضيات الياباني يوتاكا تانياما البالغ من العمر 28 عامًا.

تبدو الفرضية كالتالي: "كل منحنى إهليلجي يتوافق مع شكل معياري معين". المنحنيات الإهليلجية، المعروفة منذ زمن طويل، لها شكل ثنائي الأبعاد (تقع على مستوى)، في حين أن الدوال المعيارية لها شكل رباعي الأبعاد. وهذا يعني أن فرضية تانياما تجمع بين مفاهيم مختلفة تمامًا - منحنيات مسطحة بسيطة وأشكال رباعية الأبعاد لا يمكن تصورها. إن حقيقة الجمع بين الأشكال المختلفة الأبعاد في الفرضية بدت سخيفة للعلماء، ولهذا السبب لم يتم إعطاؤها أي أهمية في عام 1955.

لكن في خريف عام 1984، تذكرت فجأة «حدسية تانياما» مرة أخرى، ولم يتم تذكرها فحسب، بل كان برهانها المحتمل مرتبطًا ببرهان نظرية فيرما! وقد تم ذلك من قبل عالم الرياضيات جيرهارد فراي من ساربروكن، الذي أخبر المجتمع العلمي أنه "إذا تمكن شخص ما من إثبات حدسية تانياما، فسيتم إثبات نظرية فيرما الأخيرة أيضًا".

ماذا فعل فراي؟ قام بتحويل معادلة فيرما إلى معادلة مكعبة، ثم لاحظ أن المنحنى الإهليلجي الذي تم الحصول عليه باستخدام معادلة فيرما المحولة إلى معادلة مكعبة لا يمكن أن يكون معياريًا. ومع ذلك، ذكر تخمين تانياما أن أي منحنى إهليلجي يمكن أن يكون معياريًا! وبناء على ذلك، لا يمكن أن يوجد منحنى إهليلجي مبني على معادلة فيرما، مما يعني أنه لا يمكن أن يكون هناك حلول كاملة ونظرية فيرما، مما يعني أنها صحيحة. حسنًا، في عام 1993، أثبت أندرو ويلز ببساطة حدسية تانياما، وبالتالي نظرية فيرما.

ومع ذلك، يمكن إثبات نظرية فيرما بشكل أكثر بساطة، على أساس نفس الأبعاد المتعددة التي عمل عليها كل من تانياما وفري.

في البداية، دعونا ننتبه إلى الحالة التي حددها بيير فيرما نفسه - n>2. لماذا كان هذا الشرط ضروريا؟ نعم، فقط لأنه مع n=2، تصبح حالة خاصة من نظرية فيرما هي نظرية فيثاغورس المعتادة X 2 +Y 2 =Z 2، والتي تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول الصحيحة - 3,4,5؛ 5،12،13؛ 7,24,25; 8،15،17؛ 12,16,20; 51,140,149 وهكذا. وبالتالي فإن نظرية فيثاغورس هي استثناء لنظرية فيرما.

ولكن لماذا يحدث مثل هذا الاستثناء في حالة n=2؟ كل شيء يقع في مكانه إذا رأيت العلاقة بين الدرجة (ن=2) وبُعد الشكل نفسه. مثلث فيثاغورس هو شكل ثنائي الأبعاد. ليس من المستغرب أن Z (أي الوتر) يمكن التعبير عنها بدلالة الأضلاع (X وY)، والتي يمكن أن تكون أعدادًا صحيحة. حجم الزاوية (90) يجعل من الممكن اعتبار الوتر كمتجه، والأرجل هي متجهات تقع على المحاور وتأتي من الأصل. وبناء على ذلك، يمكن التعبير عن متجه ثنائي الأبعاد لا يقع على أي من المحاور بدلالة المتجهات الواقعة عليها.

الآن، إذا انتقلنا إلى البعد الثالث، وبالتالي إلى n=3، من أجل التعبير عن متجه ثلاثي الأبعاد، فلن تكون هناك معلومات كافية عن متجهين، وبالتالي، سيكون من الممكن التعبير عن Z في معادلة فيرما من خلال ثلاثة حدود على الأقل (ثلاثة متجهات تقع، على التوالي، على ثلاثة محاور لنظام الإحداثيات).

إذا كان n=4، فيجب أن يكون هناك 4 حدود، وإذا كان n=5، فيجب أن يكون هناك 5 حدود، وهكذا. في هذه الحالة، سيكون هناك ما يكفي من الحلول الكاملة. على سبيل المثال، 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 وهكذا (يمكنك اختيار أمثلة أخرى لـ n=3، n=4 وهكذا بنفسك).

ماذا يتبع من كل هذا؟ ويترتب على ذلك أن نظرية فيرما لا تحتوي حقًا على حلول صحيحة لـ n>2 - ولكن فقط لأن المعادلة نفسها غير صحيحة! بنفس النجاح، يمكن للمرء أن يحاول التعبير عن حجم متوازي السطوح من حيث طول حافتيه - بالطبع، هذا مستحيل (لن يتم العثور على حلول كاملة أبدًا)، ولكن فقط لأنه يمكن العثور على حجم متوازي السطوح عليك أن تعرف أطوال حوافه الثلاثة.

عندما سُئل عالم الرياضيات الشهير ديفيد جيلبرت عن أهم مشكلة يواجهها العلم الآن، أجاب "اصطياد ذبابة على الجانب البعيد من القمر". على السؤال المعقول "من يحتاج هذا؟" أجاب: "لا أحد يحتاج إلى هذا، لكن فكر في عدد المشاكل المهمة والمعقدة التي يجب حلها من أجل تنفيذ ذلك".

بمعنى آخر، لعب فيرما (المحامي أولاً وقبل كل شيء!) نكتة قانونية بارعة على عالم الرياضيات بأكمله، بناءً على صياغة غير صحيحة للمشكلة. لقد اقترح في الواقع أن علماء الرياضيات يجدون الإجابة على سبب عدم تمكن الذبابة على الجانب الآخر من القمر من العيش، وفي هوامش "الحساب" أراد أن يكتب فقط أنه ببساطة لا يوجد هواء على القمر، أي. لا يمكن أن يكون هناك حلول كاملة لنظريته لـ n>2 فقط لأن كل قيمة لـ n يجب أن تتوافق مع عدد معين من الحدود على الجانب الأيسر من معادلته.

لكن هل كانت مجرد مزحة؟ مُطْلَقاً. تكمن عبقرية فيرما على وجه التحديد في حقيقة أنه كان في الواقع أول من رأى العلاقة بين درجة وبعد الشكل الرياضي - أي ما يعادل تمامًا عدد الحدود على الجانب الأيسر من المعادلة. كان معنى نظريته الشهيرة على وجه التحديد ليس فقط دفع العالم الرياضي إلى فكرة هذه العلاقة، ولكن أيضًا تقديم دليل على وجود هذه العلاقة - وهي مفهومة بشكل حدسي، ولكن لم يتم إثباتها رياضيًا بعد.

لقد فهم فيرمات، مثل أي شخص آخر، أن إقامة علاقات بين كائنات مختلفة ظاهريًا أمر مثمر للغاية ليس فقط في الرياضيات، ولكن في أي علم. تشير هذه العلاقة إلى بعض المبادئ العميقة الكامنة وراء كلا الموضوعين وتسمح بفهم أعمق لهما.

على سبيل المثال، نظر الفيزيائيون في البداية إلى الكهرباء والمغناطيسية على أنهما ظاهرتان غير مرتبطتين تمامًا، ولكن في القرن التاسع عشر، أدرك المنظرون والمجربون أن الكهرباء والمغناطيسية مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. ونتيجة لذلك، تم التوصل إلى فهم أكبر لكل من الكهرباء والمغناطيسية. التيارات الكهربائيةتؤدي إلى المجالات المغناطيسيةويمكن للمغناطيس توليد الكهرباء في الموصلات الموجودة بالقرب من المغناطيس. وأدى ذلك إلى اختراع الدينامو والمحركات الكهربائية. تم اكتشاف في النهاية أن الضوء كان نتيجة التذبذبات التوافقية المنسقة للمجالات المغناطيسية والكهربائية.

كانت الرياضيات في زمن فيرما عبارة عن جزر من المعرفة في بحر من الجهل. في إحدى الجزر، عاش علماء الهندسة الذين يدرسون الأشكال، وفي جزيرة أخرى، درس علماء الرياضيات نظرية الاحتمالات المخاطر والعشوائية. كانت لغة الهندسة مختلفة تمامًا عن لغة نظرية الاحتمالات، وكانت المصطلحات الجبرية غريبة على أولئك الذين يتحدثون فقط عن الإحصاء. لسوء الحظ، تتكون الرياضيات في عصرنا من نفس الجزر تقريبًا.

وكان فيرما أول من أدرك أن كل هذه الجزر مترابطة. وتعد نظريته الشهيرة - نظرية فيرما الأخيرة - تأكيدًا ممتازًا لذلك.