تتكون المساحة الكلية للسطح الجانبي للهرم من مجموع مساحات وجوهه الجانبية.

يوجد في الهرم الرباعي نوعان من الوجوه - رباعي الزوايا عند القاعدة ومثلثات ذات قمة مشتركة تشكل السطح الجانبي.
تحتاج أولاً إلى حساب مساحة الوجوه الجانبية. للقيام بذلك، يمكنك استخدام صيغة مساحة المثلث، أو يمكنك أيضًا استخدام صيغة مساحة سطح الهرم الرباعي (فقط إذا كان متعدد السطوح منتظمًا). إذا كان الهرم منتظماً وكان طول حرف أ للقاعدة والارتفاع المرسوم عليه معلوماً فإن:

إذا تم، وفقًا للشروط، تحديد طول الحافة c للهرم العادي وطول ضلع القاعدة a، فيمكنك العثور على القيمة باستخدام الصيغة التالية:

إذا تم إعطاء طول الحافة عند القاعدة والزاوية الحادة المقابلة لها في الأعلى، فيمكن حساب مساحة السطح الجانبي بنسبة مربع الجانب أ إلى جيب التمام المزدوج لنصف الزاوية α:

لنأخذ مثالاً لحساب مساحة سطح الهرم الرباعي من خلال الحافة الجانبية وجانب القاعدة.

المشكلة: دعنا نعطي هرمًا رباعي الزوايا منتظمًا. طول الحافة ب = 7 سم، طول ضلع القاعدة أ = 4 سم. عوّض بالقيم المعطاة في الصيغة:

لقد أظهرنا حسابات مساحة وجه واحد لهرم منتظم. على التوالى. للعثور على مساحة السطح بأكمله، تحتاج إلى ضرب النتيجة في عدد الوجوه، أي في 4. إذا كان الهرم تعسفيا ووجوهه غير متساوية، فيجب حساب المساحة لكل جانب على حدة. إذا كانت القاعدة مستطيلة أو متوازية الأضلاع، فمن المفيد أن نتذكر خصائصها. جوانب هذه الأشكال متوازية في أزواج، وبالتالي فإن وجوه الهرم ستكون أيضًا متطابقة في أزواج.
تعتمد صيغة مساحة قاعدة الهرم الرباعي بشكل مباشر على الشكل الرباعي الذي يقع في القاعدة. إذا كان الهرم صحيحا، فسيتم حساب مساحة القاعدة باستخدام الصيغة، إذا كانت القاعدة عبارة عن معين، فسوف تحتاج إلى تذكر كيفية تحديد موقعها. إذا كان هناك مستطيل في القاعدة، فسيكون العثور على مساحته أمرًا بسيطًا للغاية. ويكفي معرفة أطوال جوانب القاعدة. لنفكر في مثال لحساب مساحة قاعدة الهرم الرباعي.

المسألة: يعطى هرم في قاعدته مستطيل طول أضلاعه أ = 3 سم، ب = 5 سم، وينزل من أعلى الهرم إلى كل ضلع من أضلاعه. h-a = 4 cm، h-b = 6 cm. تقع قمة الهرم على نفس خط تقاطع القطرين. أوجد المساحة الكلية للهرم.
تتكون صيغة مساحة الهرم الرباعي من مجموع مساحات جميع الوجوه ومساحة القاعدة. أولا، دعونا نجد مساحة القاعدة:


الآن دعونا نلقي نظرة على جوانب الهرم. وهي متطابقة في أزواج، لأن ارتفاع الهرم يتقاطع مع نقطة تقاطع الأقطار. أي أنه يوجد في هرمنا مثلثان قاعدتهما أ و الارتفاع ح-أ، بالإضافة إلى مثلثين قاعدتهما ب و الارتفاع ح-ب. الآن دعونا نوجد مساحة المثلث باستخدام الصيغة المعروفة:


لنقم الآن بتنفيذ مثال لحساب مساحة الهرم الرباعي. في هرمنا ذو المستطيل في القاعدة، ستبدو الصيغة كما يلي:

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم المعلومات الشخصية الخاصة بك:

• تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

التعريف 1. ويسمى الهرم منتظماً إذا كانت قاعدته كذلك مضلع منتظم، في حين يتم عرض الجزء العلوي من هذا الهرم في وسط قاعدته.

التعريف 2. يسمى الهرم منتظماً إذا كانت قاعدته مضلعاً منتظماً ويمر ارتفاعه بمركز القاعدة.

عناصر الهرم المنتظم

• يسمى ارتفاع الوجه الجانبي المرسوم من رأسه apothem. في الشكل تم تعيينه على أنه الجزء ON
• تسمى النقطة التي تربط الحواف الجانبية ولا تقع في مستوى القاعدة قمة الهرم(عن)
• تسمى المثلثات التي لها ضلع مشترك مع القاعدة وأحد رؤوسها يتطابق مع الرأس وجوه جانبية(AOD، DOC، COB، AOB)
• يسمى الجزء العمودي المرسوم من أعلى الهرم إلى مستوى قاعدته ارتفاع الهرم(نعم)
• مقطع قطري من الهرم- هذا هو القسم الذي يمر عبر قمة القاعدة وقطرها (AOC، BOD)
• يسمى المضلع الذي لا ينتمي إلى قمة الهرم قاعدة الهرم(ا ب ت ث)

إذا كان في القاعدة الهرم المنتظميكمن مثلث، رباعي، الخ. ثم يطلق عليه مثلث منتظم ، رباعي الزواياإلخ.

الهرم الثلاثي هو رباعي السطوح - رباعي السطوح.

خصائص الهرم المنتظم

ولحل المسائل لا بد من معرفة خواص العناصر الفردية والتي عادة ما تغفل في الشرط، حيث يعتقد أن الطالب يجب أن يعرف ذلك منذ البداية.

• الأضلاع الجانبية متساويةبين أنفسهم
• apothems متساوية
• الوجوه الجانبية متساويةمع بعضها البعض (في هذه الحالة، مناطقهم متساوية على التوالي، الجانبينوالقواعد) أي أنهما مثلثات متساوية
• جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين
• في أي هرم عادي، يمكنك ملاءمة الكرة المحيطة به ووصفها
• إذا كانت مراكز الكرات المحيطية والمحددة متطابقة، فإن مجموع الزوايا المستوية عند قمة الهرم هو π، وكل واحدة منها هي π/n، على التوالي، حيث n هو عدد أضلاع المضلع الأساسي
• مساحة السطح الجانبي للهرم المنتظم تساوي نصف حاصل ضرب محيط القاعدة والارتفاع
• يمكن تحديد دائرة حول قاعدة هرم منتظم (انظر أيضًا نصف قطر الدائرة المحددة للمثلث)
• جميع الوجوه الجانبية تشكل زوايا متساوية مع مستوى قاعدة الهرم المنتظم
• جميع ارتفاعات الوجوه الجانبية متساوية مع بعضها البعض

تعليمات لحل المشاكل. يجب أن تساعد الخصائص المذكورة أعلاه في التوصل إلى حل عملي. إذا كنت بحاجة إلى العثور على زوايا ميل الوجوه، وسطحها، وما إلى ذلك، فإن التقنية العامة تتلخص في تقسيم الشكل الحجمي بأكمله إلى أشكال مسطحة منفصلة واستخدام خصائصها للعثور على عناصر فردية للهرم، حيث أن العديد من العناصر مشتركة بين عدة شخصيات.

من الضروري كسر كل شيء شخصية ثلاثية الأبعادإلى عناصر فردية - المثلثات والمربعات والقطاعات. بجوار العناصر الفرديةقم بتطبيق المعرفة من دورة قياس المساحة، مما يبسط إلى حد كبير العثور على الإجابة.

صيغ الهرم المنتظم

صيغ لإيجاد الحجم ومساحة السطح الجانبية:

التسميات:
الخامس - حجم الهرم
س - منطقة القاعدة
ح - ارتفاع الهرم
Sb - مساحة السطح الجانبية
أ - apothem (يجب عدم الخلط بينه وبين α)
ف - محيط القاعدة
ن - عدد جوانب القاعدة
ب - طول الضلع الجانبي
α - الزاوية المسطحة عند قمة الهرم

يمكن تطبيق هذه الصيغة للعثور على الحجم فقطل الهرم الصحيح:

، أين

V - حجم الهرم المنتظم
ح - ارتفاع الهرم المنتظم
n هو عدد أضلاع المضلع المنتظم، وهو قاعدة الهرم المنتظم
أ - طول ضلع المضلع المنتظم

الهرم المقطوع المنتظم

إذا رسمنا مقطعًا موازيًا لقاعدة الهرم، فإن الجسم المحصور بين هذه المستويات والسطح الجانبي يسمى الهرم المقطوع. وهذا القسم للهرم المقطوع هو إحدى قواعده.

ارتفاع الوجه الجانبي (وهو شبه منحرف متساوي الساقين) يسمى - ذروة الهرم المقطوع المنتظم.

يسمى الهرم المقطوع منتظماً إذا كان الهرم الذي اشتق منه منتظماً.

• تسمى المسافة بين قاعدتي الهرم المقطوع ارتفاع الهرم المقطوع
• الجميع وجوه الهرم المقطوع المنتظمهي شبه منحرف متساوي الساقين

ملحوظات

أنظر أيضا:حالات خاصة (صيغ) للهرم المنتظم:

كيفية استخدام المواد النظرية المقدمة هنالحل مشكلتك:

هرمهو شكل متعدد الأوجه، قاعدته مضلع، والأوجه المتبقية ممثلة بمثلثات ذات قمة مشتركة.

وإذا كانت القاعدة مربعة يسمى هرماً رباعي الزوايا، إذا كان المثلث – إذن الثلاثي. يتم رسم ارتفاع الهرم من قمته المتعامدة مع قاعدته. تستخدم أيضا لحساب المساحة apothem- ارتفاع الوجه الجانبي منخفضا عن قمته.
صيغة مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع مساحات أوجهه الجانبية المتساوية مع بعضها البعض. ومع ذلك، يتم استخدام طريقة الحساب هذه نادرا جدا. بشكل أساسي، يتم حساب مساحة الهرم من خلال محيط القاعدة والارتفاع:

لنفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبي للهرم.

لنفترض أن الهرم ذو قاعدته ABCDE وقمته F. AB=BC=CD=DE=EA=3 cm. Apothem a = 5 cm.
دعونا نجد المحيط. بما أن جميع أحرف القاعدة متساوية، فإن محيط الشكل الخماسي سيكون مساويًا:
الآن يمكنك إيجاد المساحة الجانبية للهرم:

مساحة الهرم الثلاثي المنتظم

يتكون الهرم الثلاثي المنتظم من قاعدة يقع فيها مثلث منتظم وثلاثة أضلاع متساوية في المساحة.
يمكن حساب صيغة مساحة السطح الجانبية للهرم الثلاثي المنتظم طرق مختلفة. يمكنك تطبيق الصيغة الحسابية المعتادة باستخدام المحيط والقياس، أو يمكنك إيجاد مساحة وجه واحد وضربها في ثلاثة. وبما أن وجه الهرم مثلث، فإننا نطبق صيغة مساحة المثلث. وسوف يتطلب apotem وطول القاعدة. لنفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبية لهرم ثلاثي منتظم.

إذا كان الهرم أ = 4 سم وقاعدته ب = 2 سم، فأوجد مساحة السطح الجانبي للهرم.
أولا، العثور على مساحة أحد الوجوه الجانبية. في هذه الحالة سيكون:
استبدل القيم في الصيغة:
وبما أن جميع أضلاع الهرم المنتظم متساوية، فإن مساحة السطح الجانبي للهرم ستكون مساوية لمجموع مساحات الأوجه الثلاثة. على التوالى:

مساحة الهرم المقطوع

مبتورةالهرم هو متعدد السطوح يتكون من هرم ومقطعه العرضي موازي للقاعدة.
إن صيغة مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع بسيطة للغاية. المساحة تساوي حاصل ضرب نصف مجموع محيطي القاعدتين والقياس:

لنفكر في مثال لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع.

إعطاء هرم رباعي الزوايا منتظم. أطوال القاعدة ب = 5 سم، ج = 3 سم.
أولًا، دعونا نوجد محيط القاعدتين. على أساس أكبر سيكون مساوياً لـ:
في قاعدة أصغر:
لنحسب المساحة:

ما الشكل الذي نسميه الهرم؟ أولاً، إنه متعدد السطوح. ثانيا، عند قاعدة هذا متعدد السطوح يوجد مضلع تعسفي، وجوانب الهرم (الوجوه الجانبية) لها بالضرورة شكل مثلثات تتقارب عند قمة واحدة مشتركة. والآن بعد أن فهمنا المصطلح، دعونا نتعرف على كيفية إيجاد مساحة سطح الهرم.

ومن الواضح أن مساحة السطح هكذا جسم هندسيسوف تتكون من مجموع مساحات القاعدة وكامل سطحها الجانبي.

حساب مساحة قاعدة الهرم

يعتمد اختيار صيغة الحساب على شكل المضلع الموجود أسفل هرمنا. يمكن أن تكون منتظمة، أي ذات جوانب بنفس الطول، أو غير منتظمة. دعونا نفكر في كلا الخيارين.

في القاعدة مضلع منتظم

من الدورة المدرسية نعرف:

• مساحة المربع ستكون مساوية لطول ضلعه المربع؛
• مساحة المثلث متساوي الأضلاع تساوي مربع جانبه مقسومًا على 4 ومضروبًا في الجذر التربيعي لثلاثة.

ولكن هناك أيضًا صيغة عامة لحساب مساحة أي مضلع منتظم (Sn): تحتاج إلى ضرب محيط هذا المضلع (P) في نصف قطر الدائرة المبينة فيه (r)، ثم قسمة النتيجة بواسطة اثنين: Sn=1/2P*r .

يوجد في القاعدة مضلع غير منتظم

مخطط العثور على مساحته هو تقسيم المضلع بأكمله أولاً إلى مثلثات، وحساب مساحة كل واحد منهم باستخدام الصيغة: 1/2a*h (حيث a هي قاعدة المثلث، h هو الارتفاع المنخفض إلى هذه القاعدة)، قم بجمع كافة النتائج.

مساحة السطح الجانبية للهرم

والآن لنحسب مساحة السطح الجانبي للهرم أي مجموع مساحات جميع أضلاعه الجانبية. هناك أيضًا خياران هنا.

1. دعونا يكون لدينا هرم تعسفي، أي. واحد مع مضلع غير منتظم في قاعدته. ثم عليك حساب مساحة كل وجه على حدة وإضافة النتائج. نظرًا لأن جوانب الهرم، بحكم التعريف، لا يمكن أن تكون إلا مثلثات، فسيتم الحساب باستخدام الصيغة المذكورة أعلاه: S=1/2a*h.
2. دع هرمنا يكون صحيحا، أي. وفي قاعدته مضلع منتظم، وبروز قمة الهرم في مركزه. بعد ذلك، لحساب مساحة السطح الجانبي (Sb)، يكفي إيجاد نصف منتج محيط المضلع الأساسي (P) وارتفاع (h) الجانب الجانبي (نفس الشيء بالنسبة لجميع الوجوه ): Sb = 1/2 ف*ح. يتم تحديد محيط المضلع عن طريق جمع أطوال جميع أضلاعه.

يتم إيجاد المساحة الكلية للهرم العادي من خلال جمع مساحة قاعدته مع مساحة السطح الجانبي بأكمله.

أمثلة

على سبيل المثال، دعونا نحسب جبريًا مساحات أسطح العديد من الأهرامات.

مساحة سطح الهرم الثلاثي

في قاعدة هذا الهرم يوجد مثلث. باستخدام الصيغة So=1/2a*h نجد مساحة القاعدة. نستخدم نفس الصيغة لإيجاد مساحة كل وجه من وجوه الهرم، الذي له أيضًا شكل مثلث، ونحصل على 3 مساحات: S1 وS2 وS3. مساحة السطح الجانبي للهرم هي مجموع المساحات كلها: Sb = S1+ S2+ S3. وبجمع مساحات الجوانب والقاعدة نحصل على المساحة السطحية الكلية للهرم المطلوب: Sp= So+ Sb.

مساحة سطح الهرم الرباعي

مساحة السطح الجانبي هي مجموع 4 حدود: Sb = S1+ S2+ S3+ S4، ويتم حساب كل منها باستخدام صيغة مساحة المثلث. ويجب البحث عن مساحة القاعدة اعتمادًا على شكل الشكل الرباعي - منتظمًا أو غير منتظم. يتم الحصول على المساحة الإجمالية للهرم مرة أخرى عن طريق إضافة مساحة القاعدة ومساحة السطح الإجمالية للهرم المحدد.