تعد المتباينات وأنظمة عدم المساواة أحد الموضوعات التي يتم تناولها في الجبر في المدرسة الثانوية. من حيث مستوى الصعوبة، فهو ليس الأصعب، لأنه يحتوي على قواعد بسيطة (المزيد عنها لاحقًا). كقاعدة عامة، يتعلم تلاميذ المدارس حل أنظمة عدم المساواة بسهولة تامة. ويرجع ذلك أيضًا إلى حقيقة أن المعلمين يقومون ببساطة "بتدريب" طلابهم على هذا الموضوع. ولا يمكنهم إلا أن يفعلوا ذلك، لأنه يتم دراسته في المستقبل باستخدام كميات رياضية أخرى، ويتم اختباره أيضًا في امتحان الدولة الموحدة وامتحان الدولة الموحدة. في الكتب المدرسية، يتم تناول موضوع عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة بتفصيل كبير، لذلك إذا كنت ستدرسه، فمن الأفضل اللجوء إليها. تلخص هذه المقالة فقط المواد الأكبر حجمًا وقد يكون هناك بعض الإغفالات.

مفهوم نظام عدم المساواة

إذا انتقلنا إلى اللغة العلمية، يمكننا تحديد مفهوم "نظام عدم المساواة". هذا نموذج رياضي يمثل العديد من عدم المساواة. هذا النموذج، بالطبع، يتطلب حلا، وسيكون هذا هو الجواب العام لجميع متباينات النظام المقترح في المهمة (عادة ما يتم كتابته بهذه الطريقة، على سبيل المثال: “حل نظام المتباينات 4 x + 1 >” 2 و 30 - س > 6... "). ومع ذلك، قبل الانتقال إلى أنواع وطرق الحلول، عليك أن تفهم شيئا آخر.

أنظمة عدم المساواة وأنظمة المعادلات

عند تعلم موضوع جديد، غالبا ما تنشأ سوء الفهم. من ناحية، كل شيء واضح وتريد البدء في حل المهام في أقرب وقت ممكن، ولكن من ناحية أخرى، تظل بعض اللحظات في "الظل" وغير مفهومة بالكامل. كما أن بعض عناصر المعرفة المكتسبة بالفعل قد تتشابك مع عناصر جديدة. ونتيجة لهذا "التداخل" تحدث الأخطاء غالبًا.

لذلك، قبل أن نبدأ في تحليل موضوعنا، يجب أن نتذكر الاختلافات بين المعادلات والمتباينات وأنظمتها. للقيام بذلك، نحتاج مرة أخرى إلى شرح ما تمثله هذه المفاهيم الرياضية. المعادلة دائمًا مساواة، وهي دائمًا تساوي شيئًا ما (في الرياضيات يُشار إلى هذه الكلمة بالعلامة "="). عدم المساواة هو نموذج تكون فيه إحدى القيم إما أكبر أو أقل من قيمة أخرى، أو تحتوي على بيان بأنها ليست متماثلة. وبالتالي، في الحالة الأولى، من المناسب الحديث عن المساواة، وفي الثانية، بغض النظر عن مدى وضوح ذلك من الاسم نفسه، حول عدم المساواة في البيانات الأولية. أنظمة المعادلات والمتباينات لا تختلف عمليا عن بعضها البعض وطرق حلها هي نفسها. والفرق الوحيد هو أنه في الحالة الأولى يتم استخدام المتباينات، وفي الحالة الثانية يتم استخدام المتباينات.

أنواع عدم المساواة

هناك نوعان من المتباينات: رقمية ومتباينة ذات متغير غير معروف. يمثل النوع الأول الكميات (الأرقام) المتوفرة غير المتساوية مع بعضها البعض، على سبيل المثال، 8 > 10. أما النوع الثاني فهو المتباينات التي تحتوي على متغير غير معروف (يُشار إليه بحرف من الأبجدية اللاتينية، غالبًا X). يجب العثور على هذا المتغير. اعتمادًا على عدد المتباينات، يميز النموذج الرياضي بين المتباينات ذات متباينة واحدة (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغير واحد) أو عدة متغيرات (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغيرات متعددة).

اثنين النوع الأخيربناءً على درجة بنائها ومستوى التعقيد، تنقسم الحلول إلى بسيطة ومعقدة. وتسمى تلك البسيطة أيضًا بعدم المساواة الخطية. وهم بدورهم ينقسمون إلى صارمين وغير صارمين. "يقول" المتشددون على وجه التحديد أن الكمية الواحدة يجب بالضرورة أن تكون أقل أو أكثر، وبالتالي فهذه متباينة محضة. يمكن إعطاء عدة أمثلة: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، إلخ. تتضمن الأمثلة غير الصارمة أيضًا المساواة. أي أن إحدى القيم يمكن أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥") أو أقل من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥"). حتى في المتباينات الخطية، لا يكون المتغير عند الجذر أو التربيع أو قابلاً للقسمة على أي شيء، ولهذا السبب يطلق عليه "بسيط". تتضمن المتغيرات المعقدة متغيرات غير معروفة تتطلب المزيد من الرياضيات للعثور عليها. غالبًا ما تكون موجودة في مربع أو مكعب أو تحت جذر، ويمكن أن تكون معيارية أو لوغاريتمية أو كسرية، وما إلى ذلك. ولكن نظرًا لأن مهمتنا هي الحاجة إلى فهم حل أنظمة عدم المساواة، فسنتحدث عن نظام عدم المساواة الخطية . ومع ذلك، قبل ذلك، ينبغي أن يقال بضع كلمات عن خصائصها.

خصائص عدم المساواة

تشمل خصائص عدم المساواة ما يلي:

1. يتم عكس علامة المتباينة إذا تم استخدام عملية لتغيير ترتيب الجوانب (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، ثم t 2 ≥ t 1).
2. يتيح لك كلا طرفي المتراجحة إضافة نفس الرقم إلى نفسه (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، فإن t 1 + رقم ≥ t 2 + رقم).
3. تسمح متباينتان أو أكثر بإشارة في نفس الاتجاه بإضافة ضلعيهما الأيسر والأيمن (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، ثم t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
4. يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس الشيء رقم إيجابي(على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 والرقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ الرقم · t 2).
5. تسمح متباينتان أو أكثر لها حدود موجبة وإشارة في نفس الاتجاه بضرب بعضها البعض (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، t 1، t 2، t 3، t 4 ≥ 0 ثم ر 1 · ر 3 ≥ ر 2 · ر 4).
6. يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس الشيء رقم سلبي، ولكن في هذه الحالة تتغير علامة عدم المساواة (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 والرقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ الرقم · t 2).
7. جميع المتباينات لها خاصية العبور (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 و t 2 ≥ t 3، فإن t 1 ≥ t 3).

والآن، وبعد دراسة المبادئ الأساسية للنظرية المتعلقة بالمتباينات، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى النظر في قواعد حل أنظمتها.

حل أنظمة عدم المساواة. معلومات عامة. الحلول

وكما ذكرنا أعلاه فإن الحل هو قيم المتغير المناسبة لجميع متباينات النظام المعطى. حل أنظمة عدم المساواة هو التنفيذ العمليات الحسابيةمما يؤدي في النهاية إلى حل النظام بأكمله أو إثبات عدم وجود حلول له. وفي هذه الحالة يقولون أن المتغير يشير إلى مجموعة رقمية فارغة (مكتوبة على النحو التالي: حرف يدل على متغير∈ (علامة "ينتمي") ø (علامة "مجموعة فارغة")، على سبيل المثال، x ∈ ø (اقرأ: "المتغير "x" ينتمي إلى المجموعة الفارغة"). هناك عدة طرق لحل أنظمة المتباينات: طريقة الرسم، والجبر، والاستبدال. ومن الجدير بالذكر أنها تشير إلى تلك النماذج الرياضية التي تحتوي على عدة متغيرات غير معروفة. وفي حالة وجود واحد فقط، تكون طريقة الفاصل مناسبة.

الطريقة الرسومية

يسمح لك بحل نظام من المتباينات بعدة كميات غير معروفة (من اثنين فما فوق). بفضل هذه الطريقة، يمكن حل نظام من المتباينات الخطية بسهولة وسرعة، لذا فهي الطريقة الأكثر شيوعًا. ويفسر ذلك حقيقة أن رسم الرسم البياني يقلل من كمية العمليات الحسابية المكتوبة. يصبح من الممتع بشكل خاص أخذ استراحة قصيرة من القلم والتقاط قلم رصاص باستخدام المسطرة والبدء في المزيد من الإجراءات بمساعدتهم عندما يتم إنجاز الكثير من العمل وتريد القليل من التنوع. ومع ذلك، فإن بعض الأشخاص لا يحبون هذه الطريقة لأنه يتعين عليهم الابتعاد عن المهمة وتحويل نشاطهم العقلي إلى الرسم. ومع ذلك، هذه طريقة فعالة للغاية.

لحل نظام من المتباينات باستخدام طريقة رسومية، من الضروري نقل جميع حدود كل متباينة إلى جانبها الأيسر. سيتم عكس العلامات، ويجب كتابة الصفر على اليمين، ثم يجب كتابة كل متباينة على حدة. ونتيجة لذلك، سيتم الحصول على الوظائف من عدم المساواة. بعد ذلك، يمكنك إخراج قلم رصاص ومسطرة: الآن تحتاج إلى رسم رسم بياني لكل دالة تم الحصول عليها. ستكون مجموعة الأرقام الكاملة التي ستكون في فترة تقاطعها بمثابة حل لنظام المتباينات.

الطريقة الجبرية

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة بمتغيرين غير معروفين. كما يجب أن تحتوي المتباينات على نفس علامة المتباينة (أي أنها يجب أن تحتوي إما على علامة "أكبر من" فقط، أو علامة "أقل من" فقط، وما إلى ذلك). وعلى الرغم من قيودها، إلا أن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا أيضًا. يتم تطبيقه على مرحلتين.

الأول يتضمن إجراءات للتخلص من أحد المتغيرات غير المعروفة. تحتاج أولا إلى تحديده، ثم التحقق من وجود أرقام أمام هذا المتغير. إذا لم تكن موجودة (سيبدو المتغير كحرف واحد)، فإننا لا نغير أي شيء، إذا كانت موجودة (سيكون نوع المتغير، على سبيل المثال، 5y أو 12y)، فمن الضروري إجراء التأكد من أن الرقم الموجود أمام المتغير المحدد هو نفسه في كل متباينة. للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب كل حد من المتباينات في عامل مشترك، على سبيل المثال، إذا تم كتابة 3y في المتباينة الأولى، و5y في الثانية، فأنت بحاجة إلى ضرب جميع حدود المتباينة الأولى في 5 والثاني بمقدار 3. تحصل على 15y و15y على التوالي.

المرحلة الثانية من الحل. ومن الضروري نقل الطرف الأيسر من كل متباينة إلى طرفها الأيمن، مع تغيير إشارة كل حد إلى عكسها، وكتابة صفر على اليمين. ثم يأتي الجزء الممتع: التخلص من المتغير المحدد (المعروف أيضًا باسم "التخفيض") مع إضافة المتباينات. وينتج عن هذا عدم المساواة بمتغير واحد يحتاج إلى حل. بعد ذلك، عليك أن تفعل الشيء نفسه، فقط مع متغير آخر غير معروف. النتائج التي تم الحصول عليها ستكون حل النظام.

طريقة الاستبدال

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة إذا كان من الممكن إدخال متغير جديد. عادةً، يتم استخدام هذه الطريقة عندما يتم رفع المتغير المجهول في أحد حدود المتراجحة إلى القوة الرابعة، ويتم تربيعه في الحد الآخر. وبالتالي، تهدف هذه الطريقة إلى تقليل درجة عدم المساواة في النظام. يتم حل متباينة العينة x 4 - x 2 - 1 ≥ 0 بهذه الطريقة. تم تقديم متغير جديد، على سبيل المثال t. يكتبون: "Let t = x 2"، ثم تتم إعادة كتابة النموذج بشكل جديد. في حالتنا، نحصل على t 2 - t - 1 ≥0. يجب حل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفاصل الزمني (سنتحدث عن ذلك لاحقًا)، ثم العودة إلى المتغير X، ثم فعل الشيء نفسه مع المتباينة الأخرى. الإجابات المستلمة ستكون حل النظام.

طريقة الفاصل

هذه هي أبسط طريقة لحل أنظمة عدم المساواة، وهي في نفس الوقت عالمية وواسعة الانتشار. يتم استخدامه في المدارس الثانوية وحتى في المدارس العليا. يكمن جوهرها في حقيقة أن الطالب يبحث عن فترات عدم المساواة على خط الأعداد، والذي يتم رسمه في دفتر ملاحظات (هذا ليس رسمًا بيانيًا، ولكنه مجرد خط عادي به أرقام). حيثما تتقاطع فترات المتباينات، يتم إيجاد حل النظام. لاستخدام طريقة الفاصل الزمني، عليك اتباع الخطوات التالية:

1. يتم نقل جميع حدود كل متباينة إلى الجانب الأيسر مع تغيير الإشارة إلى العكس (يكتب الصفر على اليمين).
2. تتم كتابة المتباينات بشكل منفصل ويتم تحديد حل كل منها.
3. تم العثور على تقاطعات المتباينات على خط الأعداد. جميع الأرقام الموجودة في هذه التقاطعات ستكون حلاً.

ما هي الطريقة التي يجب أن أستخدمها؟

من الواضح أنه يبدو الأسهل والأكثر ملاءمة، ولكن هناك حالات تتطلب فيها المهام طريقة معينة. غالبًا ما يقولون أنك بحاجة إلى الحل إما باستخدام الرسم البياني أو طريقة الفاصل الزمني. نادرًا ما يتم استخدام الطريقة الجبرية والاستبدال أو لا يتم استخدامها على الإطلاق، نظرًا لأنها معقدة ومربكة للغاية، بالإضافة إلى أنها تستخدم أكثر لحل أنظمة المعادلات بدلاً من عدم المساواة، لذلك يجب عليك اللجوء إلى رسم الرسوم البيانية والفواصل الزمنية. إنها توفر الوضوح الذي لا يمكن إلا أن يساهم في التنفيذ الفعال والسريع للعمليات الرياضية.

إذا لم ينجح شيء ما

أثناء دراسة موضوع معين في الجبر، بطبيعة الحال، قد تنشأ مشاكل في فهمه. وهذا أمر طبيعي، لأن دماغنا مصمم بطريقة تجعله غير قادر على فهم المواد المعقدة دفعة واحدة. غالبًا ما تحتاج إلى إعادة قراءة فقرة ما، أو طلب المساعدة من أحد المعلمين، أو التدرب على حل مشكلة ما. المهام النموذجية. في حالتنا، تبدو على سبيل المثال كما يلي: "حل نظام المتباينات 3 x + 1 ≥ 0 و2 x - 1 > 3." وبالتالي، فإن الرغبة الشخصية والمساعدة من الغرباء والممارسة تساعد في فهم أي موضوع معقد.

حلالا؟

كتاب الحلول مناسب جدًا أيضًا، ليس لنسخ الواجبات المنزلية، بل للمساعدة الذاتية. يمكنك العثور فيها على أنظمة عدم المساواة مع الحل، والنظر إليها (كقوالب)، وحاول أن تفهم بالضبط كيف تعامل مؤلف الحل مع المهمة، ثم حاول أن تفعل الشيء نفسه بنفسك.

الاستنتاجات

يعد الجبر من أصعب المواد في المدرسة. حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل؟ لقد كانت الرياضيات دائمًا على هذا النحو: بالنسبة للبعض فهي سهلة، ولكنها صعبة بالنسبة للبعض الآخر. ولكن على أي حال، يجب أن نتذكر أن برنامج التعليم العام منظم بحيث يمكن لأي طالب التعامل معه. وبالإضافة إلى ذلك، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار العدد الهائل من المساعدين. وقد ذكر البعض منهم أعلاه.

سنواصل في هذا الدرس النظر في المتباينات العقلانية وأنظمتها، وهي: نظام المتباينات الخطية والتربيعية. أولًا، دعونا نتذكر ما هو النظام الذي يتكون من متباينتين خطيتين بمتغير واحد. بعد ذلك، سننظر في نظام المتباينات التربيعية ومنهجية حلها باستخدام مثال مشاكل محددة. دعونا نلقي نظرة فاحصة على ما يسمى بطريقة السقف. سنقوم بتحليل الحلول النموذجية للأنظمة وفي نهاية الدرس سنفكر في حل نظام يحتوي على متباينات خطية وتربيعية.

2. المجمع التعليمي والمنهجي الإلكتروني لإعداد الصفوف 10-11 لامتحانات القبول في علوم الكمبيوتر والرياضيات واللغة الروسية ().

3. مركز التعليم “تكنولوجيا التدريس” ().

4. قسم College.ru للرياضيات ().

1. موردكوفيتش أ.ج. وآخرون الجبر الصف التاسع: كتاب المشكلات لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، T. N. Mishustina، إلخ - الطبعة الرابعة. - م: منيموسين، 2002.-143 ص: مريض. رقم 58(أ،ج)؛ 62؛ 63.

حل عدم المساواة على الانترنت

قبل حل المتباينات، يجب أن يكون لديك فهم جيد لكيفية حل المعادلات.

لا يهم إذا كانت المتراجحة صارمة () أو غير صارمة (≥، ≥)، فإن الخطوة الأولى هي حل المعادلة عن طريق استبدال علامة المتباينة بالمساواة (=).

دعونا نوضح ما يعنيه حل عدم المساواة؟

بعد دراسة المعادلات تظهر الصورة التالية في ذهن الطالب: يحتاج إلى إيجاد قيم المتغير بحيث يأخذ طرفا المعادلة نفس القيم. بمعنى آخر، ابحث عن جميع النقاط التي تتحقق عندها المساواة. كل شيء صحيح!

عندما نتحدث عن المتباينات، فإننا نعني إيجاد الفترات (القطاعات) التي تنطبق عليها المتباينة. إذا كان هناك متغيران في المتراجحة، فلن يكون الحل عبارة عن فترات، بل بعض المساحات على المستوى. خمن بنفسك ما هو الحل لعدم المساواة في ثلاثة متغيرات؟

كيفية حل عدم المساواة؟

تعتبر الطريقة العالمية لحل المتباينات هي طريقة الفواصل الزمنية (المعروفة أيضًا باسم طريقة الفترات الزمنية)، والتي تتمثل في تحديد جميع الفترات الزمنية التي سيتم تحقيق عدم المساواة المعينة ضمن حدودها.

دون الخوض في نوع المتباينة، في هذه الحالة ليس هذا هو الهدف، فأنت بحاجة إلى حل المعادلة المقابلة وتحديد جذورها، يليها تعيين هذه الحلول على محور الأعداد.

كيفية كتابة الحل بشكل صحيح لعدم المساواة؟

عندما تحدد فترات الحل للمتباينة، عليك أن تكتب الحل نفسه بشكل صحيح. هناك فارق بسيط مهم - هل حدود الفترات متضمنة في الحل؟

كل شيء بسيط هنا. إذا كان حل المعادلة يفي بـ ODZ وكانت عدم المساواة صارمة، فسيتم تضمين حدود الفاصل الزمني في حل عدم المساواة. خلاف ذلك، لا.

بالنظر إلى كل فترة، قد يكون حل المتراجحة هو الفترة نفسها، أو نصف الفترة (عندما يحقق أحد حدودها المتراجحة)، أو قطعة - الفترة مع حدودها.

نقطة مهمة

لا تظن أن الفترات وأنصاف الفترات والقطاعات هي وحدها القادرة على حل المتراجحة. لا، قد يشمل الحل أيضًا نقاطًا فردية.

على سبيل المثال، المتباينة |x|≥0 لها حل واحد فقط - وهي النقطة 0.

والمتباينة |x|

لماذا تحتاج إلى حاسبة عدم المساواة؟

حاسبة المتباينات تعطي الإجابة النهائية الصحيحة. في معظم الحالات، يتم توفير رسم توضيحي لمحور الرقم أو المستوى. من الواضح ما إذا كانت حدود الفترات مضمنة في الحل أم لا - يتم عرض النقاط على أنها مظللة أو مثقوبة.

شكرا ل آلة حاسبة على الانترنتعدم المساواة، هل يمكنك التحقق مما إذا كنت قد وجدت جذور المعادلة بشكل صحيح، ووضعت علامة عليها على محور الرقم وتحققت من استيفاء شرط عدم المساواة على الفترات (والحدود)؟

إذا كانت إجابتك مختلفة عن إجابة الآلة الحاسبة، فأنت بالتأكيد بحاجة إلى التحقق مرة أخرى من الحل وتحديد الخطأ.

نظام عدم المساواة.
مثال 1. العثور على مجال التعبير
حل.تحت علامة الجذر التربيعي يجب أن يكون هناك رقم غير سالب، مما يعني أنه يجب تحقيق متباينتين في وقت واحد: في مثل هذه الحالات، يقولون إن المشكلة تقتصر على حل نظام من عدم المساواة

لكننا لم نواجه بعد مثل هذا النموذج الرياضي (نظام عدم المساواة). وهذا يعني أننا لم نتمكن بعد من إكمال حل المثال.

يتم دمج المتباينات التي تشكل النظام بقوس متعرج (وينطبق الشيء نفسه على أنظمة المعادلات). على سبيل المثال، سجل

يعني أن المتباينتين 2x - 1 > 3 و 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

في بعض الأحيان يتم كتابة نظام عدم المساواة في شكل متباينة مزدوجة. على سبيل المثال، نظام عدم المساواة

يمكن كتابتها على أنها متباينة مزدوجة 3<2х-1<11.

في دورة الجبر للصف التاسع، سننظر فقط في الأنظمة التي تحتوي على متباينتين.

النظر في نظام عدم المساواة

يمكنك تحديد العديد من الحلول الخاصة بها، على سبيل المثال x = 3، x = 4، x = 3.5. في الواقع، بالنسبة لـ x = 3، تأخذ المتباينة الأولى الصورة 5 > 3، والمتباينة الثانية تأخذ الصورة 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

وفي الوقت نفسه، فإن القيمة x = 5 ليست حلاً لنظام المتباينات. عندما x = 5، تأخذ المتباينة الأولى الشكل 9 > 3 - وهي متباينة عددية صحيحة، والمتباينة الثانية تأخذ الشكل 13< 11- неверное числовое неравенство .
إن حل نظام من المتباينات يعني إيجاد جميع الحلول الخاصة به. من الواضح أن التخمين الموضح أعلاه ليس طريقة لحل نظام من المتباينات. في المثال التالي، سنوضح كيف يفكر الناس عادة عند حل نظام من المتباينات.

مثال 3.حل نظام عدم المساواة:

حل.

أ)لحل المتباينة الأولى للنظام، نجد 2x > 4, x > 2; وبحل المتباينة الثانية للنظام نجد 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
ب)لحل المتباينة الأولى في النظام، نجد x > 2؛ نجد حل المتباينة الثانية للنظام دعونا نضع علامة على هذه الفواصل الزمنية على خط إحداثي واحد، باستخدام الفقس العلوي للفاصل الزمني الأول، والفقس السفلي للثاني (الشكل 23). إن حل نظام المتباينات سيكون تقاطع حلول متباينات النظام، أي. الفاصل الزمني الذي تتزامن فيه كلا الفتحتين. في المثال قيد النظر نحصل على شعاع

الخامس)بحل المتباينة الأولى للنظام نجد x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

دعونا نعمم المنطق الذي تم تنفيذه في المثال قيد النظر. لنفترض أننا بحاجة إلى حل نظام عدم المساواة

لنفترض على سبيل المثال أن الفترة (a, b) تكون حلاً للمتباينة fx 2 > g(x)، والفترة (c, d) تكون حلاً للمتباينة f 2 (x) > s 2 (x) ). دعونا نضع علامة على هذه الفواصل الزمنية على خط إحداثي واحد، باستخدام الفقس العلوي للفاصل الزمني الأول، والفقس السفلي للثاني (الشكل 25). الحل لنظام عدم المساواة هو تقاطع الحلول لعدم المساواة في النظام، أي. الفاصل الزمني الذي تتزامن فيه كلا الفتحتين. في الشكل. 25 هي الفترة (ج، ب).

الآن يمكننا بسهولة حل نظام المتباينات الذي حصلنا عليه أعلاه في المثال 1:

لحل المتباينة الأولى للنظام، نجد x > 2؛ وبحل المتباينة الثانية للنظام نجد x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

وبطبيعة الحال، ليس من الضروري أن يتكون نظام عدم المساواة بالضرورة من متباينات خطية، كما كان الحال حتى الآن؛ يمكن أن تحدث أي تفاوتات عقلانية (وليست عقلانية فقط). من الناحية الفنية، فإن العمل مع نظام عدم المساواة العقلانية غير الخطية، بالطبع، أكثر تعقيدا، ولكن لا يوجد شيء جديد بشكل أساسي (مقارنة بأنظمة عدم المساواة الخطية) هنا.

مثال 4.حل نظام عدم المساواة

حل.

1) حل عدم المساواة لدينا
لنضع علامة على النقطتين -3 و3 على خط الأعداد (الشكل 27). يقسمون الخط إلى ثلاث فترات، وفي كل فاصل يحتفظ التعبير p(x) = (x- 3)(x + 3) بإشارة ثابتة - هذه العلامات موضحة في الشكل. 27. نحن مهتمون بالفترات التي تكون فيها المتباينة p(x) > 0 (مظللة في الشكل 27)، والنقاط التي تكون عندها المساواة p(x) = 0، أي. النقاط x = -3، x = 3 (تم تمييزها في الشكل 2 7 بدوائر داكنة). وهكذا، في الشكل. يعرض الشكل 27 نموذجًا هندسيًا لحل المتباينة الأولى.

2) حل عدم المساواة لدينا
لنضع علامة على النقطتين 0 و 5 على خط الأعداد (الشكل 28). يقسمون الخط إلى ثلاث فترات، وعلى كل فاصل التعبير<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (مظللة في الشكل 28)، والنقاط التي تتحقق عندها المساواة g (x) - O، أي. النقاط x = 0، x = 5 (تم تمييزها في الشكل 28 بدوائر داكنة). وهكذا، في الشكل. يعرض الشكل 28 نموذجًا هندسيًا لحل المتباينة الثانية للنظام.

3) دعونا نحدد الحلول التي تم العثور عليها للمتباينتين الأولى والثانية للنظام على نفس خط الإحداثيات، باستخدام الفقس العلوي لحلول المتباينة الأولى، والفقس السفلي لحلول المتباينة الثانية (الشكل 29). سيكون حل نظام المتباينات هو تقاطع حلول متباينات النظام، أي. الفاصل الزمني الذي يتزامن فيه كلا الفقس. مثل هذا الفاصل الزمني هو قطعة.

مثال 5.حل نظام عدم المساواة:

حل:

أ)من المتباينة الأولى نجد x >2. دعونا ننظر في عدم المساواة الثانية. مثلث الحدود المربع x 2 + x + 2 ليس له جذور حقيقية، ومعامله الرئيسي (معامل x 2) موجب. هذا يعني أنه بالنسبة لجميع x فإن المتباينة x 2 + x + 2>0 صحيحة، وبالتالي فإن المتباينة الثانية في النظام ليس لها حلول. ماذا يعني هذا بالنسبة لنظام عدم المساواة؟ وهذا يعني أن النظام ليس لديه حلول.

ب)من المتباينة الأولى نجد x > 2، والمتباينة الثانية محققة لأي قيم لـ x. ماذا يعني هذا بالنسبة لنظام عدم المساواة؟ هذا يعني أن حلها له الصيغة x>2، أي يتزامن مع حل المتباينة الأولى.

إجابة:

أ) لا توجد حلول؛ ب)س>2.

وهذا المثال هو توضيح لما يلي المفيد

1. إذا كان هناك نظام مكون من عدة متباينات بمتغير واحد، فإن متباينة واحدة ليس لها حلول، إذًا لا يوجد لدى النظام حلول.

2. إذا كان في نظام مكون من متباينتين بمتغير واحد، تكون متباينة واحدة محققة لأي قيم للمتغير، فإن حل النظام هو حل المتباينة الثانية للنظام.

وفي ختام هذا القسم، دعونا نعود إلى مشكلة العدد المقصود الوارد في البداية ونحلها، كما يقولون، وفق جميع القواعد.

مثال 2(انظر ص29). والمقصود هو العدد الطبيعي. ومعلوم أنك إذا أضفت 13 إلى مربع العدد المقصود فإن المجموع سيكون أكبر من حاصل ضرب العدد المقصود والرقم 14. وإذا أضفت 45 إلى مربع العدد المقصود فإن المجموع سيكون يكون أقل من حاصل ضرب العدد المقصود والرقم 18. ما العدد المقصود؟

حل.

المرحلة الأولى. رسم نموذج رياضي .
العدد المقصود x، كما رأينا أعلاه، يجب أن يفي بنظام المتباينات

المرحلة الثانية. العمل مع النموذج الرياضي المترجم دعونا نحول عدم المساواة الأولى للنظام إلى النموذج
س2- 14س+ 13 > 0.

دعونا نجد جذور ثلاثية الحدود x 2 - 14x + 13: x 2 = 1، x 2 = 13. باستخدام القطع المكافئ y = x 2 - 14x + 13 (الشكل 30) نستنتج أن المتباينة التي نهتم بها هي راض في العاشر< 1 или x > 13.

دعونا نحول المتباينة الثانية للنظام إلى الصورة x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

على سبيل المثال:

\(\begin(cases)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\النهاية(الحالات)\)

\(\تبدأ(الحالات)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\النهاية(الحالات)\)

\(\begin(الحالات)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

حل نظام عدم المساواة

ل حل نظام عدم المساواةتحتاج إلى العثور على قيم x التي تناسب جميع عدم المساواة في النظام - وهذا يعني أنها يتم تنفيذها في وقت واحد.

مثال. دعونا نحل النظام \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
حل: تصبح المتباينة الأولى صحيحة إذا كانت x أكبر من \(4\). أي أن حلول المتباينة الأولى هي جميع قيم x من \((4;\infty)\) أو على محور الأعداد:

المتراجحة الثانية مناسبة لقيم x الأقل من 7، أي أي x من الفاصل \((-\infty;7]\) أو على محور الرقم:

ما هي القيم المناسبة لكلا عدم المساواة؟ تلك التي تنتمي إلى الثغرات، أي التي تتقاطع فيها الثغرات.

إجابة: \((4;7]\)

كما لاحظت، من الملائم استخدام محاور الأعداد لتقاطع حلول المتباينات في النظام.

المبدأ العام لحل أنظمة عدم المساواة:عليك إيجاد حل لكل متباينة، ثم تقاطع هذه الحلول باستخدام خط الأعداد.

مثال:(تكليف من OGE)حل النظام \(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

حل:

\(\begin(الحالات) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	دعونا نحل كل متباينة بشكل منفصل عن الأخرى.
	دعونا نعكس عدم المساواة الناتج.
	دعونا نقسم المتباينة بأكملها على \(2\).
	دعونا نكتب إجابة المتباينة الأولى.
\(x∈(-∞;4)\)	الآن دعونا نحل المتباينة الثانية.
2) \((س-5)(س+8)<0\)	إن عدم المساواة هو بالفعل في شكل مثالي للتطبيق.
	دعونا نكتب إجابة المتباينة الثانية.
	دعونا ندمج كلا الحلين باستخدام محاور الأعداد.
	دعونا نكتب ردًا على ذلك الفترة التي يوجد فيها حل للمتباينتين - الأولى والثانية.

إجابة: \((-8;4)\)

مثال:(تكليف من OGE)حل النظام \(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≥14-3x \end(cases)\)

حل:

\(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≥14-3x \end(cases)\)	مرة أخرى، سنحل المتباينات بشكل منفصل.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\) \(≥0\)	إذا أخافك القاسم فلا تخف، سنقوم بإزالته الآن. الحقيقة هي أن \(3+(5-2x)^2\) دائمًا تعبير إيجابي. احكم بنفسك: \((5-2x)^2 \)نظرًا للمربع فهو إما موجب أو يساوي صفر. \((5-2x)^2+3\) – إيجابي تمامًا. هذا يعني أنه يمكننا ضرب المتراجحة بأمان في \(3+(5-2x)^2\)
	أمامنا هو المعتاد - لنعبر عن \(x\). للقيام بذلك، حرك \(10\) إلى الجانب الأيمن.
	دعونا نقسم المتباينة على \(-2\). وبما أن الرقم سالب، فإننا نغير علامة المتباينة.
	دعونا نحدد الحل على خط الأعداد.
	دعونا نكتب إجابة المتباينة الأولى.
\(x∈(-∞;5]\)	في هذه المرحلة، الشيء الرئيسي هو عدم نسيان أن هناك عدم مساواة ثانية.
2) \(2-7x≥14-3x\)	مرة أخرى، هناك متباينة خطية - مرة أخرى نعبر عن \(x\).
\(-7x+3x≥14-2\)	نقدم مصطلحات مماثلة.
	نقسم المتباينة بأكملها على \(-4\)، مع قلب العلامة.
	لنرسم الحل على خط الأعداد ونكتب إجابة هذه المتباينة.
\(x∈[-3;∞)\)	الآن دعونا نجمع الحلول.
	دعونا نكتب الجواب.

إجابة: \([-3;5]\)

مثال: حل النظام \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\النهاية(الحالات)\)

حل:

\(\تبدأ(الحالات)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\النهاية(الحالات)\)